Varbūtības teorijas pamatjēdziens. Varbūtību teorijas likumi

Daudzi, saskaroties ar jēdzienu "varbūtības teorija", nobijies, domājot, ka tas ir kaut kas ārpus varas, ir ļoti grūti. Bet viss tiešām nav tik traģisks. Šodien mēs izskatīsim varbūtības teorijas pamatjēdzienu, iemācīsimies risināt problēmas konkrētos piemēros.

Zinātne

Kas māca tādu matemātikas nozari kā "varbūtības teorija"? Viņa atzīmē gadījuma notikumu un lielumu modeļus. Pirmo reizi zinātnieki interesējās par šo jautājumu astoņpadsmitajā gadsimtā, kad viņi studēja azartspēles. Varbūtības teorijas pamatjēdziens ir notikums. Tas ir fakts, ko pierāda pieredze vai novērojums. Bet kas ir pieredze? Vēl viens varbūtības teorijas pamatjēdziens. Tas nozīmē, ka šis apstākļu kopums tika radīts nevis nejauši, bet ar konkrētu mērķi. Attiecībā uz novērojumiem pats pētnieks nepiedalās pieredzē, bet vienkārši liecina par šiem notikumiem, viņš nekādā veidā neietekmē situāciju.

Notikumi

Mēs uzzinājām, ka varbūtības teorijas pamatjēdziens ir notikums, bet neuzskatīja klasifikāciju. Visi no tiem iedala šādās kategorijās:

• Ticams.
• Neiespējami.
• Random.

Neatkarīgi no tā, kādi notikumi tiek novēroti vai radīti eksperimenta laikā, uz tiem attiecas šī klasifikācija. Mēs iesakām iepazīties ar katru sugu atsevišķi.

Uzticams notikums

Šis ir šāds apstāklis, pirms kura tiek veikts nepieciešamais pasākumu komplekss. Lai labāk izprastu būtību, labāk ir minēt dažus piemērus. Šis likums attiecas uz fiziku, ķīmiju, ekonomiku un augstāko matemātiku. Varbūtības teorija ietver tik svarīgu jēdzienu kā ticams notikums. Piemērs:

• Mēs strādājam un saņemam atalgojumu algu veidā.
• Mēs veiksmīgi nokārtoja eksāmenus, nokārtoja konkursu, jo mēs saņemam atlīdzību kā uzņemšanas forma izglītības iestādē.
• Mēs esam ieguldījuši naudu bankā, ja nepieciešams, mēs tos atmaksāsim.

Šādi notikumi ir ticami. Ja mēs būsim izpildījuši visus nepieciešamos nosacījumus, tad mēs noteikti saņemsim gaidīto rezultātu.

Neiespējami notikumi

Tagad mēs apsveram elementus no varbūtības teorijas. Mēs iesakām izskaidrot šāda veida notikumu, proti, neiespējamo. Vispirms apspriedīsim vissvarīgāko likumu - neiespējama notikuma varbūtība ir nulle.

No šīs formulējuma problēmu risināšanā nav iespējams atkāpties. Paskaidrojumam mēs sniedzam šādu notikumu piemērus:

• Ūdens sasaldēja temperatūrā plus desmit (tas nav iespējams).
• Elektrības trūkums nekādā veidā neietekmē ražošanu (tas ir tikpat iespējams, kā iepriekšējā piemērā).

Nevajadzētu uzrādīt vairāk piemēru, kā aprakstīts iepriekš, ļoti skaidri atspoguļo šīs kategorijas būtību. Katrā eksperimentā nekādos apstākļos netiks noticis neiespējams notikums.

Nejaušie notikumi

Varbūtību teorijas elementu izpētei īpaša uzmanība jāpievērš šāda veida notikumiem. Tie ir tie, kas māca šo zinātni. Kā pieredzes dēļ kaut kas var notikt vai nē. Turklāt testu var veikt neierobežotu skaitu reižu. Spēcīgi piemēri ir šādi:

• Monētas lozēšana ir pieredze vai pārbaudījums, ka ērglis ir notikums.
• Akumulējoši izvelk bumbu no soma - pārbaude, tika noķerta sarkanā bumba - tas ir notikums utt.

Šādi piemēri var būt neierobežots skaits, bet kopumā būtībai jābūt skaidrai. Apkopojot un sistematizējot iegūtās zināšanas par notikumiem, tiek sniegta tabula. Varbūtības teorija izpēta tikai pēdējo visu veidu.

Likumi

Varbūtības teorija ir zinātne, kas izskata notikuma krišanas iespēju. Tāpat kā citi, tai ir daži noteikumi. Ir šādi varbūtības teorijas likumi:

• Nejaušo mainīgo secību konverģence.
• Lielu skaitu likumu.

Aprēķinot sarežģītas iespējas, jūs varat izmantot vienkāršu pasākumu kompleksu, lai panāktu rezultātu vieglāk un ātrāk. Mēs atzīmējam, ka varbūtības teorijas likumi ir viegli pierādāmi ar noteiktu teorēmu palīdzību. Mēs iesakām vispirms iepazīties ar pirmo likumu.

Nejaušo mainīgo secību konverģence

Ņemiet vērā, ka pastāv vairāku veidu konverģence:

• Nejaušo mainīgo secība ir varbūtības konverģence.
• Gandrīz neiespējami.
• Vidējā kvadrātveida konverģence.
• Konverģence izplatīšanā.

Tātad, lidojot, ir ļoti grūti nokļūt līdz punktam. Šeit ir definīcijas, kas palīdzēs jums izprast šo tēmu. Lai sāktu ar pirmo skatījumu. Tiek uzskatīts, ka secība ir konverģēta ar varbūtību, ja izpildīts šāds nosacījums: n ir tendence uz bezgalību, skaitlis, uz kuru sekvence attiecas, ir lielāka par nulli un tuvu vienībai.

Mēs pārietu uz nākamo formu, gandrīz noteikti . Tiek teikts, ka secība gandrīz droši saplūst ar nejaušo lielumu, ja n tiecas uz bezgalību, un P ir tendence uz vērtību, kas ir tuvu vienībai.

Nākamais veids ir vidējā kvadrātveida konverģence . Izmantojot CK-konverģenci, vektoru izlases procesu pētījums samazinās līdz to koordinātu nejaušo procesu pētījumam.

Pēdējais veids paliek, ņemsim īsu ieskatu un sāksim tieši risināt problēmas. Sadales konverģencei ir cits vārds - "vājš", tālāk paskaidrojiet, kāpēc. Vājā konverģence ir sadales funkciju konverģence visos ierobežojošās sadales funkcijas nepārtrauktības punktos.

Noteikti izpildiet solījumu: vāja konverģence atšķiras no visa iepriekšminētā, jo nejaušais mainīgais nav definēts varbūtības telpā. Tas ir iespējams, jo nosacījums ir veidots vienīgi izmantojot izplatīšanas funkcijas.

Lielu skaitu likumu

Lieliski teorētiķi šā likuma pierādīšanā būs teorētiski varbūtību teorijas piemēri, piemēram:

• Chebyshev nevienlīdzība.
• Čebeševa teorēma.
• Vispārējā Čebysheva teorēma.
• Markova teorēma.

Ja mēs apsvērsim visus šos teorēmas, tad šo jautājumu var aizkavēt vairākas desmit lapas. Mūsu valstī galvenais uzdevums ir praksē izmantot varbūtību teoriju. Mēs iesakām to izdarīt tieši tagad. Bet pirms tam mēs uzskatām, ka varbūtības teorijas aksiomas ir galvenās palīgu problēmas risināšanā.

Aksiomas

No pirmā mēs jau tikāmies, kad runājam par neiespējamu notikumu. Atcerēsimies: neiespējama notikuma varbūtība ir nulle. Piemēram, mēs ievedam ļoti spilgtu un neaizmirstamu: sniega kritums sasniedza trīsdesmit grādus pēc Celsija.

Otrais izklausās šādi: ticams notikums notiek ar varbūtību, kas vienāda ar vienu. Tagad ļaujiet mums parādīt, kā to var rakstīt, izmantojot matemātisko valodu: P (B) = 1.

Treškārt: var notikt nejaušs notikums vai ne, bet iespēja vienmēr mainās no nulles uz vienu. Jo tuvāka vērtība ir vienotība, jo lielāka iespēja; Ja vērtība tuvojas nullei, varbūtība ir ļoti maza. Mēs to raksinām matemātiskā valodā: 0

Apskatīsim pēdējo, ceturto aksiomu, kas izklausās šādi: divu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar to varbūtību summu. Mēs to uzrakstam matemātiskā valodā: P (A + B) = P (A) + P (B).

Varbūtības teorijas aksiomas ir vienkāršākie noteikumi, kurus var viegli atcerēties. Mēģināsim atrisināt dažas problēmas, balstoties uz jau iegūtajām zināšanām.

Loterijas biļete

Vispirms apskatīsim vienkāršāko piemēru - loteriju. Iedomājieties, ka nopērkat vienu loterijas biļeti. Kāda ir varbūtība, ka jūs uzvarēsiet vismaz divdesmit rubļus? Apgrozībā ir iesaistīta tūkstoš biļešu, no kurām viena ir balva par pieciem simtiem rubļu, desmit par simts rubļiem, piecdesmit divdesmit rubļiem un simts pieci rubļi. Varbūtības teorijas problēmas pamatojas uz panākumu izredžu atrašanu. Tagad kopā mēs analizēsim iepriekš minētā uzdevuma risinājumu.

Ja ar vēstuli A apzīmē pieci simti rubļu laimestus, tad A zaudējuma varbūtība ir 0.001. Kā mēs to dabūja? Tikai vajadzīgs "laimīgo" biļešu skaits, kas dalīts ar to kopējo skaitu (šajā gadījumā: 1/1000).

In - tas ir pieaugums simts rubļu, varbūtība būs 0.01. Tagad mēs rīkojāmies tāpat kā agrākā rīcībā (10/1000)

C - uzvarētājs ir vienāds ar divdesmit rubļiem. Mēs atrodam varbūtību, tas ir vienāds ar 0,05.

Pārējās biļetes mums nav interesantas, jo viņu balvu fonds ir mazāks par nosacījumu. Piesakies ceturtā asioma: varbūtība uzvarēt vismaz divdesmit rubļus ir P (A) + P (B) + P (C). Burts P norāda šī notikuma izcelsmes varbūtību, mēs jau esam tos atraduši iepriekšējās darbībās. Joprojām paliek tikai pievienot nepieciešamos datus, jo atbildē mēs saņemam 0,061. Šis numurs būs atbilde uz uzdevuma jautājumu.

Kartes klājs

Problēmas varbūtības teorijā ir sarežģītākas, piemēram, veicam šādu uzdevumu. Pirms jums ir trīsdesmit sešu kāršu klāja. Jūsu uzdevums ir izdarīt divas kārtis pēc kārtas bez maisīšanas, pirmajai un otrajai kārtai jābūt aces, tērps nav svarīgs.

Vispirms atradīsim varbūtību, ka pirmā karte būs ace, tāpēc mēs sadalām četrus ar trīsdesmit sešiem. Viņi to atcēla. Mēs saņemam otro karti, tā būs ace ar trīs trīsdesmit piektdaļu varbūtību. Otrā notikuma varbūtība ir atkarīga no tā, kuru karti mēs pirmām kārtām velkam, mēs brīnāmies, vai tas ir ace vai ne. No tā izriet, ka notikums B ir atkarīgs no notikuma A.

Nākamā darbība ir vienlaicīgas ieviešanas varbūtība, proti, mēs pavairot A un B. Viņu produkts ir šāds: viena notikuma varbūtība tiek reizināta ar otra nosacījuma varbūtību, ko mēs aprēķinām, pieņemot, ka noticis pirmais notikums, tas ir, pirmā karte, kurā mēs paplašinājām ace.

Lai viss kļūtu skaidrs, mēs norādīsim kādu elementu, piemēram, notikuma nosacīto varbūtību . Tas tiek aprēķināts, pieņemot, ka notikums A ir noticis. Aprēķina šādi: P (B / A).

Mēs turpinām mūsu problēmas risinājumu: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) vai P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Varbūtība ir (4/36) _* ((3/35) / (4/36). Aprēķināt, noapaļojot līdz simtdaļām. Mums ir: 0,11 _* (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09 Varbūtība, ka mēs piesaistīsim divus aces pēc kārtas, ir deviņas deviņas, vērtība ir ļoti maza, no tā izriet, ka notikuma izcelsmes varbūtība ir ārkārtīgi maza.

Aizmirsts numurs

Piedāvājam analizēt vairākus uzdevumu variantus, kurus varbūtību teorijas studenti. Jūs jau esat redzējuši dažu šo problēmu risinājumu piemērus šajā rakstā, mēs centīsimies atrisināt šādu problēmu: zēns aizmirsa savu drauga tālruņa numura pēdējo ciparu, taču, tā kā saruna bija ļoti svarīga, viņš vispirms sāka rakstīt visu. Mums jāaprēķina varbūtība, ka viņš zvana ne vairāk kā trīs reizes. Problēmas risinājums ir vienkāršākais, ja tiek zināmi varbūtības teorijas noteikumi, likumi un aksiomas.

Pirms skatāties uz risinājumu, mēģiniet to pats atrisināt. Mēs zinām, ka pēdējais skaitlis var būt no nulles līdz deviņām, ti, tikai desmit vērtībām. Varbūtība ievadīt vajadzīgo ir 1/10.

Tālāk mums ir jāapsver notikuma izcelsmes varianti, domājams, ka zēns guva un nekavējoties ierakstījis pareizo, šāda notikuma varbūtība ir 1/10. Otrais variants: pirmais garām garām un otrais uz mērķa. Aprēķiniet šāda notikuma varbūtību: 9/10 reizina ar 1/9, beigās mēs saņemam arī 1/10. Trešā iespēja: pirmais un otrais zvans nebija pie adreses, tikai trešais zēns dabūja, kur gribēja. Mēs aprēķinām šāda notikuma varbūtību: 9/10 reizina ar 8/9 un 1/8, tāpēc iegūstam 1/10. Citi varianti mums nav interese par problēmas stāvokli, tādēļ mums ir jāsamazina rezultāti, galu galā mums ir 3/10. Atbilde: varbūtība, ka zēns piezvanīs ne vairāk kā trīs reizes, ir 0,3.

Kartes ar numuriem

Pirms jums ir deviņas kartes, katra ar numuru no viena līdz deviņām, cipari netiek atkārtoti. Tie tika ievietoti kastē un rūpīgi sajaukti. Jums jāaprēķina varbūtība, ka

• Būs vienāds skaits;
• Divu vērtējumu.

Pirms pāriet uz risinājumu, pieņemsim, ka m ir veiksmīgu gadījumu skaits, un n ir kopējais opciju skaits. Ļaujiet mums atrast varbūtību, ka skaitlis būs pat. Tas nebūs grūti aprēķināt, ka pat skaitļi ir četri, tas būs mūsu m, iespējams, ir deviņi varianti, tas ir, m = 9. Tad varbūtība ir 0,44 vai 4/9.

Mēs apsveram otro gadījumu: opciju skaits ir deviņas, un nav nekādu sekmīgu rezultātu, tas ir, m ir vienāds ar nulli. Varbūtība, ka iegarena karte satur divciparu skaitli, arī ir nulle.