Furjē sērija: vēsture un ietekme matemātisko mehānisma attīstībai zinātnes

Furjē sērija - šis skats patvaļīgi izvēlētas funkcijas periodu pēc kārtas. Kopumā, šis risinājums sauc izplešanās elementu uz taisnleņķa pamata. Par funkciju Furjē sērijā paplašināšana ir diezgan spēcīgs instruments, lai atrisinātu dažādas problēmas sakarā ar īpašībām transformācijas integrācijas, diferenciāciju, kā arī pārmaiņas argumentu izteiksmi un sagriešana.

Persona, kas nav pazīstami ar augstākās matemātikas, kā arī ar darbiem franču zinātnieks Furjē, visticamāk, nebūs saprast, ko nozīmē "rindās" un to, ko viņi dara. Tomēr šī transformācija ir diezgan stingri ievadīta mūsu dzīvi. To izmanto ne tikai matemātiku, bet arī ķīmiķu, ārsti, astronomiem, seismologists, oceanographers un citi. Ļaujiet mums arī tuvāk apskatīt ar darbiem lielā franču zinātnieks, kuri veica atklāšanu, pirms sava laika.

Cilvēks un Furjē

Furjē sērija ir viena no metodēm, (kopā ar analīzes un citi) par Furjē. Šis process notiek katru reizi, kad cilvēks dzird jebkuru skaņu. Mūsu auss automātiski pārveido skaņas vilni. Svārstību kustība elementāro daļiņu elastīgo nesēja tiek paplašināts sērijā (turpmāk spektra) secīgu apjoma vērtībām toņu dažādos augstumos. Tālāk, smadzenes pārvērš šos datus pazīstamām skaņām mums. Tas viss ir papildus mūsu vēlmes vai pašas apziņas, bet, lai saprastu procesus, kas nepieciešami vairāki gadi, lai izpētītu augstāko matemātiku.

Lasīt vairāk par Furjē

Furjē transformācijas var veikt analītisko, cipari un citas metodes. Furjē sērija ir skaitlis process trūdēšana jebkuru svārstību procesi - no okeāna paisumu un viļņi gaismas līdz saules cikliem (un citu astronomisko objektu) darbību. Izmantojot šīs matemātiskās metodes, ir iespējams izjaukt funkciju, kas pārstāv jebkuru svārstību procesus vairākās sinusoidālā sastāvdaļas, kas iet no minimālā līdz maksimālajam un otrādi. Furjē transformācijas ir funkcija, kas apraksta fāzi un amplitūdu sinusoids atbilst īpaši frekvenču. Šis process var tikt izmantoti, lai atrisinātu ļoti sarežģītas vienādojumu, kas apraksta dinamiskos notiekošos procesus saskaņā ar rīcības siltuma, gaismas vai elektrisko enerģiju. Arī Furjē sērija izmanto, lai atšķirtu DC komponentu kompleksu viļņu, kas ļauj pareizi interpretēt eksperimentālos novērojumus medicīnā, ķīmijā un astronomijā.

vēsturiskā informācija

Dibinātājvalstis tēvs šīs teorijas ir franču matemātiķis Zhan Batist Zhozef Fure. Viņa vārds vēlāk, un šī transformācija ir saukta. Sākotnēji zinātnieki izmantoja tehniku, lai pētītu un izskaidrot mehānismus siltumvadītspēja - siltuma izplatīšanās cietvielas. Furjē norādīja, ka sākotnējais neregulāra sadalījums siltuma viļņa var sadalīt vienkāršu sinusoid, no kuriem katrs būs tās temperatūras minimālo un maksimālo, kā arī tās posmu. Tādējādi katrs šāds elements, ko mēra no minimālā līdz maksimālajam un otrādi. Matemātiskā funkcija, kas apraksta augšējo un apakšējo virsotnes līkni, kā arī posms, katrs harmoniku, ko sauc par Furjē vārda temperatūras sadalījumu. No teorijas samazināta kopējā sadalījuma funkciju autors, kas ir grūti matemātiskā apraksta, kas ir ļoti viegli rīkoties vairākas periodisko funkcijām sine un kosinuss, summu norādot sākotnējo izplatīšanu.

Pārrēķinu princips un skati laikabiedru

Laikabiedri zinātnieka - vadošie mathematicians no agrīnā deviņpadsmitajā gadsimtā - nepieņēma šo teoriju. Galvenais iebildums bija apstiprinājums Furjē ka pārtraukta funkcija apraksta taisnu līniju vai līkni tiek saplēsts, tas var tikt pārstāvēta kā summa sinusoidālā izpausmes, kas ir nepārtraukta. Kā, piemēram, uzskata par "solis" Heaviside: tā vērtība ir nulle, pa kreisi no plaisas un viens pa labi. Šī funkcija apraksta atkarību no elektriskās strāvas uz laika mainīgo, slēgšanas ķēdē. Mūsdienu teorija tajā laikā, nekad radušās šādu situāciju, kad pārtraukta izteiksme tiks aprakstīts, apvienojot nepārtrauktu, kopīgo funkciju, piemēram, eksponenciālā, sine, lineāru vai kvadrātvienādojums.

Kas bothered Francijas mathematicians teorijā Furjē?

Galu galā, ja matemātiķis bija taisnība, apgalvojot, tad, summējot bezgalīgu trigonometrisko Furjē rindas, ir iespējams iegūt precīzu pārstāvību solis vārda, pat ja tas ir vairākas līdzīgas darbības. Jo sākumā deviņpadsmitajā gadsimtā, šis apgalvojums šķita absurdi. Bet neskatoties uz visām šaubām, daudzi matemātiķi ir paplašināja pētījuma šīs parādības, pārvietojot to aiz siltumvadītspējai pētījumiem. Tomēr lielākā daļa zinātnieku turpināja ciest jautājumu: "? Vai var no sine viļņu sēriju summa konverģē uz precīzu vērtību pārtrauktas darbības"

Saplūšana Furjē rindas: piemērs

Konverģences jautājums paceļas katru reizi, kad ir nepieciešams sasummēt bezgalīgu skaitļu virknes. apsvērt klasisks piemērs, lai izprastu šo parādību. Vai jūs kādreiz sasniegt sienas, ja katrs solis ir puse no iepriekšējā? Pieņemsim, ka jums ir divas metrus no vārtiem, pirmais solis tuvāk aptuveni pusceļā, nākamais - zīme trīs ceturtdaļām, un pēc piektā, jums būs pārvarēt gandrīz 97 procentus no ceļu. Tomēr neatkarīgi no tā, cik daudz soļus jūs esat darījuši ne, iecerētais mērķis jums sasniegt ar stingru matemātisku nozīmē. Izmantojot skaitliskos aprēķinus, mēs varam pierādīt, ka galu galā var būt tuvāks patvaļīgi mazu noteiktā attālumā. Tas ir līdzvērtīgs pierādījums, kas apliecina, ka kopējā vērtība vienai pusei, ceturtdaļai, un tā tālāk. E. Vai mēdz vienotību.

Jautājums par konverģences: otrā atnākšana vai instruments Lord Kelvina

Atkārtoti jautājums radās vēlu deviņpadsmitajā gadsimtā, kad Furjē sērija ir mēģinājuši izmantot, lai prognozētu intensitāti paisumi un plūsmu. Tajā laikā, Lord Kelvin tika izgudrots ierīce ir analogais dators, kas ļāva jūrnieki tumši un tirgotājs jūras monitors ir dabas parādība. Šis mehānisms noteikts kopums fāzēm un amplitūdas galda augstuma paisuma un atbilstošo laika momentiem, rūpīgi izmērīts ostā visa gada garumā. Katrs parametrs ir sinusoidālu sastāvdaļa izpausme bēguma augstums un bija viens no regulāriem komponentiem. Mērījumu rezultāti ir ieguldījums skaitļošanas ierīces Lord Kelvin, sintezējot līkni, kas prognozēto augstums no ūdens, kā funkciju no nākamā gada. Ļoti drīz, šīs līknes tika sastādīts visiem ostām pasaulē.

Un, ja šis process tiks sadalīts lēcienveida funkciju?

Tolaik šķita skaidrs, ka ierīce prognozē paisuma vilni, ar daudziem elementiem konta var aprēķināt lielu skaitu fāžu un amplitūdu, un tā nodrošina precīzāku prognozi. Tomēr izrādījās, ka šis modelis nav novērota gadījumos, kad plūdmaiņu izteiksme, kas tiks sintezētas, ietverti asu lēkt, tas ir, ir pārtraukta. Gadījumā, ka aparāts lai ievadītu datus no tabulas laika punktos, tas aprēķina maz Furjē koeficientus. Atgūstot sākotnējo funkciju dēļ sinusoidālas komponenta (saskaņā ar konstatēto koeficientiem). Starpība starp sākotnējo un pārveidotās izpausmi var izmērīt jebkurā vietā. Ja atkārtotās aprēķini un salīdzinājumi var redzēt, ka vērtība vislielākā kļūda netiek samazināts. Tomēr tie ir lokalizētas reģionā, kas atbilst punktam pārrāvuma, un jebkura cita vieta mēdz nullei. 1899. gadā šis rezultāts tika apstiprināts teorētiski Joshua Willard Gibbs no Jēlas universitātes.

Konverģence Furjē sērijas un attīstība matemātikas kopumā

Furjē analīze neattiecas uz izteiksmēm, kas satur neskaitāmas pārrāvumi noteiktā intervālā. Kopumā Furjē sērijā, ja sākotnējā funkcija pārstāv rezultātu faktisko fizisko mērījumu, vienmēr saplūst. Jautājumi par konverģences šī procesa konkrētu kategoriju funkcijas, ir novedusi pie jaunās filiāles matemātiku, piemēram, teorijas vispārējo funkcijas. Tas ir saistīts ar nosaukumiem, piemēram, Schwartz, J .. Mikusiński un J. Temple. Saskaņā ar šo teoriju, skaidrs un precīzs teorētiskais pamatojums šādam izteiksmes ir noteikta kā delta funkcija (tas raksturo reģionu vienotā platības, koncentrēts bezgalīgi apkārtnē punktu) un "soli" Heaviside. Ar šo darbu Furjē sērija kļuva piemērojama risināt vienādojumus un problēmas, kas ietver intuitīvi jēdzienus: punkts maksas, masu punkts, magnētiskie dipoles un koncentrētas slodzes uz gaismu.

Furjē metode

Furjē sērija, saskaņā ar principiem iejaukšanās, sākas ar sadalīšanās sarežģītas formas uz vienkāršāku. Piemēram, izmaiņas siltuma plūsmu, jo tā pāreju caur dažādiem šķēršļiem uz siltumizolācijas materiāla neregulāras formas vai mainot zemes virsmas - zemestrīces, izmaiņas orbītā debess ķermeņa - ietekmē planētu. Raksturīgi, ka šie vienādojumi, kas raksturo vienkāršu klasisko sistēma pamatskolas atrisināta katram atsevišķam viļņa garumu. Furjē rāda, ka vienkārši risinājumi var apkopot kā sarežģītākiem uzdevumiem. Valodā matemātikā, Furjē sērija - metodika iesniegšanu izteiksmes summas harmonisko - kosinuss un sine viļņiem. Tāpēc šī analīze ir pazīstama arī ar nosaukumu "harmonisko analīzi".

Furjē sērija - ideāls veids, lai ar "datoru laikmetā"

Pirms izveidi datortehnoloģiju Furjē metode ir labākais ierocis arsenālā zinātnieku strādā ar viļņu dabu mūsu pasaulē. Furjē sērija kompleksā veidā ļauj ne tikai risinātu vienkāršas problēmas, kas ir pakļauti tiešu piemērošanu Ņūtona likumi mehānikā, bet arī fundamentālas vienādojumus. Lielākā daļa no atklājumiem Ņūtona zinātnes deviņpadsmitajā gadsimtā kļuva iespējams tikai pateicoties Furjē metodi.

Furjē sērija šodien

Ar attīstību Furjē datori ir pieaudzis, lai jaunā līmenī. Šī metode ir stingri iesakņojusies gandrīz visās zinātnes un tehnoloģiju jomā. Piemēram, digitālā audio un video. Tās īstenošana ir iespējama, tikai pateicoties teoriju Francijas matemātiķis no agrīnā deviņpadsmitajā gadsimtā izstrādāta. Tādējādi Furjē sērija kompleksā veidā ļāva veikt izrāvienu pētījumu kosmosā. Turklāt, tā ir ietekmējusi pētījumu fiziku pusvadītāju materiālu un plazmas, mikroviļņu akustiku, okeanogrāfijas, radaru, seismoloģiskos.

Trigonometriskās Furjē sērija

Matemātikā, Furjē sērija ir veids, kas pārstāv patvaļīgus sarežģītas funkcijas, kā summa vienkāršāka. Parasti gadījumos, skaits izteiksmes var būt bezgalīgs. Lielāks skaits ieskaitīti aprēķinā, tad precīzāku gala rezultāts ir iegūts. Visbiežāk izmanto vienkāršu trigonometriskais kosinuss vai sinusa funkciju. Šajā gadījumā, Furjē sērija sauc trigonometriskais un lēmums par šādu izteicienu - harmonisko sadalīšanos. Šī metode ir svarīga loma matemātikā. Pirmkārt, trigonometriskais sērija nodrošina līdzekļus attēlam, kā arī pētījumu funkciju, tas ir galvenais vienība teoriju. Turklāt tas ļauj mums atrisināt vairākas problēmas matemātiskā fizikā. Visbeidzot, šī teorija ir veicinājusi attīstību matemātiskās analīzes, tas radīja virkni matemātiskās zinātnes (teoriju integrāļi, teoriju periodiskas funkcijas) ir ļoti svarīgas filiālēm. Turklāt sākumpunkts attīstībai šādām teorijām: komplekti, funkcijas reālu mainīga, funkcionālās analīzes, kā arī lika pamatus harmonisko analīzi.