Eiklida ģeometrija piektais postulāts: formulējums

Tiek uzskatīts, ka tur bija pirms 10 000 gadiem, pirmā civilizācija. Salīdzinot ar vecumu mūsu planētas, kas, pēc zinātnieku domām, ir aptuveni 4.540.000 gadus vecs, tas ir tikai īss brīdis. Par šo "brīdis" cilvēcei ir veikusi milzīgu lēcienu no primitīvas akmens rīkus, lai starpplanētu kosmosa. Viņš nebūtu iespējams, ja laiku pa laikam uz planētas būtu dzimis ģēnijs, zinātne virzās uz priekšu. Starp tām, protams, attiecas Eiklida ģeometrija. Viņa darbi kļuva par pamatu un spēcīgs stimuls attīstībai mūsdienu matemātika.

Šis raksts ir par piekto postulātu Euclid un tās vēsturi.

Kā radās ģeometriju

Tā kā zemes gabalu vērtība bija priekšmets nomas, to lielums un platība pārdošanas un piegādes ir jāmēra, tostarp aprēķiniem. Turklāt, šādi aprēķini kļūt nepieciešams būvniecībā liela mēroga struktūrām, kā arī mērīšanas apjomu dažādu priekšmetu. Tas viss ir kļuvis priekšnoteikumi pirms 3-4 tūkstošiem gadu Ēģiptē un Babilonijā mākslas uzmērīšana. Tas ir empīriski un ir kolekcija vairāki simti piemēriem konkrētas problēmas risināšanai, bez jebkādiem pierādījumiem.

Kā sistemātiska zinātne ģeometrijas izstrādāto Senajā Grieķijā. Jau trešajā gadsimtā pirms mūsu ēras bija liels piedāvājums faktu un pierādījumu metodes. Tomēr radās problēma ir pietiekami plašu apkopot savākto ģeometrisko materiālu. Viņa mēģināja risināt Hipokrāta Fedii un citu seno grieķu filozofus. Taču loģiski pārbaudīt zinātnisko sistēmu tur bija tikai apmēram 300 gadus pirms mūsu ēras. e. ar publicēšanas "Principia".

Kas bija Euclid

Senā Grieķija sniedza pasaule daudziem lielākajiem filozofi un zinātnieki. Viens no tiem ir Euclid, kurš kļuva dibinātājs Aleksandrijas skolas matemātiku. Par zinātnieka praktiski nekas nav zināms. Daži avoti liecina, ka jauniešu nākotnes tēvs mūsdienu ģeometrijas mācījās slavenā skolas Plato Atēnās, un pēc tam atpakaļ uz Aleksandriju, kur viņš turpināja mācīties matemātiku un optika, kā arī mūzikas komponēšanu. Savā dzimtajā pilsētā viņš nodibināja skolu, kur kopā ar studentiem un izveidoja savu slaveno darbu, kas jau vairāk nekā divus tūkstošus gadu, ir pamats jebkuru mācību grāmatu par plaknes ģeometrija un cieto ģeometrija.

"Elements" no Euclid

Galvenais un pats pirmais sistemātisks darbs ģeometrija sastāv no 13 sējumos. Pirmie četri un sesto grāmatu galā ar plaknes ģeometrija, un 11., 12. un 13. - cieto ģeometrija. Attiecībā uz citiem apjomiem, tie ir veltīti aritmētisko, kas ir no viedokļa ģeometrisko postulātiem.

Par galveno darbu Euclid ar turpmāko attīstību matemātikas zinātņu lomu nevar pārvērtēt. Saglabājies papiruss saraksti vairāki no oriģināla, kā arī Bizantijas manuskripti.

In Viduslaikos, "Elements" Euclid tika pētīta galvenokārt arābi, kuri uzskata, ka viņiem ir viens no lielākajiem darbiem cilvēka domas un zinātnieks Damaskas. Daudz vēlāk, šie darbi ieinteresēja eiropiešiem. Ar Advent drukāšanas zinātni, tai skaitā Eiklida ģeometrija vairs nevar zināms tikai izredzētajiem. Pēc pirmā izdevuma 1533. "Elements", ir pieejamas visiem, kuri vēlas izprast pasauli, un tur ir vairāk un vairāk katru gadu. Pieprasījums ir radījis piedāvājumu, tāpēc tiek uzskatīts, ka šis darbs ir otrā visplašāk lasīt starp pieminekļiem senatnes pēc Bībeli.

dažas iezīmes

"Elements" apraksta metriskās īpašības trīsdimensiju, tukša, neierobežota un izotropiskā telpu, kas parasti sauc par Eiklīda. Tas tiek uzskatīts par arēnu, kur ir parādības klasisko fiziku Galileo un Newton.

Pamatskolas ģeometrisks objekts, saskaņā ar Euclid, ir punkts. Otrs svarīgs jēdziens - bezgalība telpā, ko raksturo ar pirmajiem trim postulātiem. Ceturtais attiecas uz vienlīdzību taisnā leņķī. Attiecībā uz Eiklīda piekto postulātu, tad tā nosaka īpašības un ģeometriju Eiklida telpu.

Pēc zinātnieku domām, klasiskā ģeometrija tēvs izveidoja perfektu mācību grāmatas, kuras izpētei izslēgtu jebkādus pārpratumus materiāla, jo, kā viņa prezentācijas. Jo īpaši, katra tilpums "Elements", sākas ar definīciju jēdzieniem saskārās pirmo reizi. It īpaši no pirmajām lappusēm 1. grāmatu lasītājs uzzina, ka punkts, līnija, taisni un tā tālāk. Kopumā tas ir 23 definīcijas, kas nepieciešami, lai izprastu galvenos noteikumus izklāstītā materiāla šajā pamattiesību darbu.

4 pirmais aksioma un postulāts Eiklida ģeometrija

Pēc autora "Elements" piedāvā rezultātus, kas tiek pieņemtas bez pierādījumiem. Tās viņš sadalās aksiomām un postulātiem. Pirmajā grupā ietilpst 11 apgalvojumiem, ka cilvēks zināmo intuitīvi. Piemēram, 8. aksiomu, ka viss ir lielāks par daļu, un saskaņā ar pirmajiem diviem daudzuma, izņemot vienāds ar trim, kas vienāds ar otru.

Turklāt 5 izraisa Euclid postulē. Pirmie četri ir šādi:

• no jebkura punkta uz jebkuru citu, jūs varat izdarīt taisnu līniju;
• no jebkuras centra katra rādiuss ir iespējams aprakstīt apli;
• ierobežots līnijas var paplašināt nepārtraukti taisnā līnijā;
• visi pareizie leņķi ir vienādi.

Eiklida piektā postulāts

Jau vairāk nekā divus tūkstošus gadu, šis apgalvojums atkārtoti kļuva objekts uzmanību matemātiķi. Bet vispirms mēs iepazīties ar saturu Eiklīda piektā postulāts. Tātad, mūsdienu formulēšanai tas izklausās kā tad, ja lidmašīnā krustojumā divu taisnā vienpusīgs trešās summu interjera leņķus mazāks par 180 °, tad šīm līnijām, turpinot agrāk vai vēlāk tikties šajā pusē, uz kuriem šis daudzums (apjoms) ir mazāks par 180 °.

Eiklida ģeometrija piektais postulāts, kas ir formulējums dažādos avotos atšķiras no paša sākuma izraisīja sporta un vēlaties to pārtulkot kategoriju teorēmu būvējot skaņu pierādījums. Starp citu, tas bieži aizstāj ar citu izteiksmi, patiesībā izgudroja nolādēja un pazīstams arī kā aksioma Playfair. Tas skan šādi: uz plaknes caur punktu, kas nepieder pie konkrētā līnija var būt viena un tikai viena taisna līnija paralēli to.

valoda

Kā jau minēts, daudzi zinātnieki ir mēģinājuši atšķirīgs paustu ideju par 5. postulāts Euclid. Daudzi formulējumi ir diezgan skaidrs. Piemēram:

• saplūst līnijas krustojas;
• ir vismaz viens taisnstūris, tas ir, 4-kvadrāts ar četriem taisnā leņķī;
• katrs skaitlis var proporcionāli palielināts;
• ir trijstūris ar jebkuru, patvaļīgi lielu platību.

trūkumi

Eiklida ģeometrija bija lielākais matemātisko darbi senatnes un līdz 19.gs., tā valdīja bezstrīdus matemātikā. Neskatoties uz to, daži no tās nepilnības ir atzīmēts pat laikabiedri autora un sengrieķu zinātnieks, kas dzīvoja nedaudz vēlāk. Jo īpaši tā ir pievienojusi jaunu Arhimēda aksioma, nosaukts pēc viņa. Tajā teikts, ka ir vesels skaitlis n, kas ir n · [AB]> [CD] visiem segmentiem AB un CD.

Bez tam, zinātnieki ir centušies mazināt sistēmu Eiklīda aksiomām un postulātiem. Lai to izdarītu, viņi paņēma dažas no tām ārā no pārējiem.

Tātad, tas ir izdevies "atbrīvoties" no 4. postulātu par vienlīdzības taisnā leņķī. Pēc viņa domām, stingri pierādījums tika konstatēts, tāpēc viņš pārcēlās uz kategoriju teorēmu.

Vēsture 5 postulāts senatne un agri viduslaikos

Klasiskā formulējums šim apgalvojumam Eiklida ģeometrija šķiet daudz mazāk acīmredzama nekā pārējiem četriem. Tieši šis fakts vajā matemātiķi.

Klupšanas akmens jau piekto Eiklīda postulāts bija definīcija paralēlismu starp divām līnijām, a un b, norādot, ka summa no diviem vienpusējas leņķiem, kas veidojas pēc krustojuma A un B trešo taisnu līniju C, kas vienāds ar 180 grādiem.

Pirmais mēģinājums pierādīt to kā teorēmu veica seno grieķu geometer Posidonius. Viņš ierosināja apsvērt tiešu paralēli plaknei, kas visu punktus, kas ir vienādā attālumā no oriģināla. Tomēr pat tas neļāva Posidonius atrast pierādījumu 5. postulāts.

Tāpat bez rezultātiem, un mēģinājumiem citi matemātiķi, ieskaitot viduslaiku, piemēram, arābi ibn Korra un Khayyam. Vienīgais, kas ir sasniegts - parādās jaunas postulātiem, ko var pierādīt, balstoties uz dažādiem pieņēmumiem.

In 18-19-gs

Klasiskā ģeometrija turpināja būt interesē matemātika un 18.gadsimtā. Jo īpaši, ir pietiekami tuvu pierādījums paralēli postulāts varētu būt franču matemātiķis A. Legendre. Viņš rakstīja izcilu mācību grāmatu "Elementi ģeometrija", kas ir aptuveni 150 gadus bija galvenais mācīšanas matemātikas Krievijas impērijas laikā skolās. Tajā zinātnieks bija trīs iespējas pierādīt Eiklīda paralēli aksioma, bet tie visi izrādījās nepareizs.

Līdz 19. gadsimta sākumā, ideja izveidot ne-Eiklida ģeometrija. Pirmā sistēmas apraksts, neatkarīgi no piektā postulātu, vadīja militāro inženieris J. Bolyai. Bet viņš bija nobijies par savu atklājumu un neizskatīja šo ideju, uzskatot to nepareizi. Panākumi nav spējusi sasniegt un liels vācu matemātiķis Gauss.

pārrāvums

Jau vairāk nekā 2000 gadu Eiklīda piekto postulātu, tad pierādījums, kas centās atrast simtiem zinātnieku, joprojām numur viens problēmu matemātikā. Izrāvienu izgatavots Krievu matemātiķis NI Lobachevsky. Viņam pasaulē pirmais izdevās raksturotu reālās vietas, kas pierāda, ka Eiklida ģeometrija "strādā" tikai konkrētajā gadījumā viņa sistēmu.

N. I. Lobachevsky sākotnēji samazinājās to pašu ceļu, kā tas no viņa kolēģiem. Mēģinot pierādīt 5. postulātu, viņš nav izdevies. Tad zinātnieks atteicās Eiklīda pārstāvību, saskaņā ar kuru leņķu trīsstūris summa ir vienāda ar 180 grādiem. Tālāk, viņš centās pierādīt šo apgalvojumu ar pretrunām un ieguva jaunu formulējumu par piekto postulātu. Tagad viņš atzina, ka pastāv vairākas līnijas, paralēli tam, un kas iet caur punktu, kas atrodas ārpus šīs līnijas.

jaunā ģeometrija

Nav jēgas diskutēt, kurš ir darījis vairāk par matemātiku. Par Euclid un Lobachevsky salīdzināmu ietekmi loma veidošanos un attīstību Ņūtona un Einšteina fizikā. Tajā pašā laikā, jaunā, absolūtais ģeometrija ir iespējams uzskatīt jēdzienu telpu, laužot prom no klasiskās metodes ", var saprast tikai to, ko var izmērīt." Taču šāda pieeja tiek praktizēta zinātnē tūkstošiem gadu.

Diemžēl idejas Lobachevskii ģeometrijas netika pieņemti, un viņa laikabiedri saprot. Jo īpaši, viņa studenti nav turpināja darbu zinātnieks un attīstība nav Eiklīda ģeometrija tika atlikta vairākas desmitgades.

Dažas iezīmes Lobachevskii teorijas

Lai saprastu jauno ģeometriju, ir nepieciešams apsvērt kosmisko bezgalību. Patiešām, ir grūti iedomāties, ka plašums Visuma ir summa lineāro telpās.

Lobachevsky ģeometrija tiek izmantots, lai aprakstītu izliektas telpas, kas ir izveidoti ar gravitācijas lauki galaktiku. Viņai ļauts atkāpties no metodes uzmanību visiem skaitļiem uz "par pareizo" cilindrā, aplis, piramīdas, kā arī jebkuru šo formu kombināciju. Jo, piemēram, patiesībā, mūsu planēta - nav bumbu, un ģeoīda, ti, skaitlis, ko iegūst, kontūru ārējo kontūru litosfēras (čaula) Zemes ...

Reālajā dzīvē, ir arī analogi izliektas telpu no Visuma, kas ļauj ieviest iespēju, ka pastāv vairākas paralēlas līnijas iet caur to pašu punktu. Konkrēti, šī liektas virsmas no trim veidiem, kas tiek piešķirts Itālijas geometer Beltrami un nosauca E. pseudosphere.

Turpmāka attīstība teorijas Lobachevsky

Izcila krievu nebija vienīgais, kurš nav paredzēts absoluteness no Eiklida ģeometrija. Jo īpaši, matemātiķis Riemann 1854.gadā izvirzīja ideju par iespēju esamību telpu nulles, pozitīvu un negatīvu izliekumu. Tas nozīmē, ka jūs varat izveidot neierobežotu skaitu dažādu nav klasiskā ģeometriju.

Par Riemann stāvokli, kurš ir studējis galvenokārt telpu ar pozitīvu izliekums, tad 5. postulāts Euclid izklausās diezgan negaidīti. Saskaņā ar viņa idejām, caur punktu ārpus konkrētā līnijā nevar ieņemt nekādu auklu paralēli to.

Diezgan atšķirīga ir gadījumā ar nulli telpām, negatīvā un pozitīvā izliekuma Klein 's teorijas. Jo īpaši, pirmajā gadījumā tie tiek raksturota ar parabolisko ģeometriju, īpašu gadījumu, kas ir klasiskā, otrā - paklausīt Lobachevskian idejas, un trešais - saskaņā ar tiem Riemann aprakstītas.

Pēc publicēšanas Alberta Eynshteyna relativitātes teorijas, iesniegšana šādu telpu papildina datus, kas ņemti vērā, ka pastāv četri savstarpēji atkarīgu un mainīgajiem mērījumiem - svars, jaudas, ātruma un laika.

praksē

Ja jūs iet uz cilvēka uztveri telpas ietvaros Zemes orbītā milzu iespējami lielākā trijstūra iespējamās novirzes summu interjera leņķus 180 grādiem klasiskā make tikai četras miljonās sekundē. Šī vērtība ir ārpus spējas homo sapiens, tāpēc "zemes" pieprasījums ir Eiklida ģeometrija.

Tā joprojām ir jāgaida, kamēr tiek radīti apstākļi, kas ļauj iegūt eksperimentālos datus, lai apstiprinātu vai atspēkotu teoriju N. Lobachevsky un Riemann visā galaktikā.

Tagad jūs zināt, ka paziņo Euclid piekto postulātu un tās vēsturi, kas ir ļoti pamācošs, un ļauj mums izsekot attīstību cilvēka prāta pēdējo 2300 gadu laikā.