Russell 's paradokss: pamata informācija, piemēri, kompozīcija

Russell paradokss ir divi savstarpēji saistīti loģiska pretruna.

Divas formas Russell 's paradokss

Visbiežāk apsprieda forma pretrunu loģika kopas. Daži no komplekta šķiet, paši dalībnieki, un citi - nē. Visu kopu kopa ir pati kopa, tāpēc šķiet, ka tas attiecas uz sevi. Null vai tukša, tomēr nedrīkstētu būt dalībnieks pats par sevi. Tāpēc, noteikt visu kopas, kā nulle nav iekļauta pati. Paradokss rodas tad, kad jautājums par to, vai komplekta locekļa sevi. Tas ir iespējams, ja un tikai tad, ja tā nav.

Vēl viens veids paradokss ir pretrunas attiecībā uz īpašumiem. Dažas īpašības, šķiet, attiecas uz sevi, bet citi ne. Īpašums būt īpašums pats par sevi ir īpašums, bet īpašums ir tas kaķis nav. Apsveriet īpašumu kam īpašums, kas nepieder viņam. ja tas attiecas uz sevi? Atkal kāds no pieņēmumu būtu pretējs. Paradokss tika nosaukts par godu Bertrand Russell (1872-1970), kurš atklāja to 1901. gadā.

stāsts

Atklāšanas Russell notika viņa darbu "principiem matemātikas" laikā. Lai gan viņš atklāja paradoksu patstāvīgi, ir pierādījumi, ka citi matemātiķi un attīstītāji kopu teorijas, tostarp Ernst Zermelo un David Hilbert, bija informēti par pirmās versijas pretrunu pirms viņa. Russell, tomēr, bija pirmais, kurš detalizēti apspriestas paradoksu viņa publicētajiem darbiem, vispirms mēģināja formulēt risinājumus un pirmais pilnībā novērtēt tā nozīmi. Visa nodaļā "principi" bija veltīta diskusijām par šo jautājumu, un pieteikums tika veltīta teorijai veidu, kas Russell ierosināto kā risinājumu.

Russell atklāja "paradoksu par meli", ņemot vērā Cantor 's kopu teorijas, kas saka, ka jauda jebkura komplekta ir mazāks nekā kopumu tās apakšgrupās. Vismaz domēnā būtu tik daudz apakškopas, jo ir elementi, to, ja viens apakškopa katra elementa ir noteikts, kas satur tikai šo elementu. Turklāt, Cantor pierādīts, ka elementu skaits nevar būt vienāds ar skaitu apakšgrupās. Ja tur bija tāds pats skaitlis, tas varētu eksistēt ƒ funkciju, kas varētu parādīt elementus savās apakšgrupās. Tajā pašā laikā tas var pierādīt, ka tas ir neiespējami. Daži posteņi var parādīties funkcija ƒ apakškopas, kas satur tos, bet citi nevar.

Apsveriet apakškopu elementu, kas nepieder to attēlos, kurā viņi parādītu ƒ. Tā ir pati apakškopa elementu, un tādēļ ƒ funkcija varētu parādīt to elementu jomā. Problēma ir tā, ka tad rodas jautājums par to, vai šis elements pieder apakškopai, uz kuru tas parāda ƒ. Tas ir iespējams tikai tad, ja tas nepieder. Rasela paradokss var uzskatīt par piemēru to pašu argumentāciju, tikai vienkāršoti. Kas ir vairāk - kopas vai apakšgrupas komplektu? Šķiet, ka ir jābūt vairāk komplektus, kā visi apakšgrupās pašu kopas. Bet, ja Cantor 's teorēmu ir taisnība, tad būtu vairāk apakškopas. Russell uzskatīt vienkārši parādīt komplekti par sevi un piemēroti kantoriansky pieeju, ņemot kopumu visiem šiem elementiem, kas nav kopuma, kurā tie tiek parādīti. Rāda Rasels kļūst kopa visu nosaka, kura nav.

kļūda Frege

"Par melis paradokss" bija milzīga ietekme uz vēsturisko attīstību teoriju kopas. Viņš parādīja, ka koncepcija universālo komplekts ir ļoti problemātiska. Viņš arī apšaubīja viedokli, ka par katru noteiktu nosacījumu vai predikātu var uzņemties esamību, kurā ir daudzi tikai tām lietām, kas atbilst šo nosacījumu. Variants paradokss attiecībā uz īpašībām - dabisku paplašinājumu versija kopām - rada nopietnas šaubas par to, vai tas ir iespējams strīdēties par objektīvu esamību īpašuma vai universālu atbilstību katrai nosaka stāvokli, vai predikātu.

Drīz tika atrasti pretrunas un problēmas darbā logicians, filozofi un matemātiķi, kuri ir veikuši līdzīgu pieņēmumus. 1902. gadā Rasels konstatēja, ka variants paradoksu var izteikt loģiskā sistēmā, izstrādāta I sējuma Gotlobs Frēge s "Foundations aritmētiku", kas ir viens no galvenajiem darbiem uz loģiku vēlu XIX - XX gadsimta sākumā. Filozofijā Frege daudzi saprot kā "paplašinājums" vai "vērtību diapazona" koncepciju. Šie jēdzieni ir vistuvāk tiem korelātu. Tie ir sagaidāms, ka pastāv jebkurā stāvoklī vai predikātu. Tādējādi pastāv jēdziens kopumu, kas neietilpst tās definē jēdzienu. Ir arī klases definē šo jēdzienu, un tas ir pakļauts definēt savu koncepciju tikai tad, ja tā nav.

Russell rakstīja Frege par šo konfliktu 1902. gada jūnijā Sarakste ir kļuvusi par vienu no visvairāk aizraujošu un runāja par vēsturē loģiku. Frege nekavējoties atzīts postošās sekas paradokss. Tomēr viņš norādīja, ka versija pretrunām attiecībā īpašības savā filozofijā tika atrisināts, nošķirot jēdzienus līmeņiem.

Frēges jēdziens jāsaprot kā pāreja no argumentiem funkciju uz TRUE. Jēdzieni pirmais līmenis, ņemot kā argumenti objekti otrā līmeņa koncepcijas veic kā argumentus uz šīm funkcijām, un tā tālāk. Tādējādi jēdziens nekad nevar ņemt sevi kā argumentu, un paradokss ziņā īpašībām nevar formulēt. Tomēr komplekti, paplašināšanu vai koncepcijas Frege saprot kā atsauces uz pašu loģiski veida, kā ar visiem pārējiem objektiem. Tad par katru komplektu ir jautājums, vai tas attiecas uz jēdzienu definēt to.

Kad Frege, Russell saņēma pirmo burtu, otrā sējuma "Foundations aritmētikas" jau ir pabeigts drukāt. Viņš bija spiests ātri sagatavot pieteikumu, kas sniedz atbildi uz paradoksu Russell. Piemēri Frege ietverti vairāki iespējamie risinājumi. Bet viņš nonāca pie secinājuma vājināt jēdzienu ņemšanas komplekts loģiskā sistēmā.

Oriģinālā bija iespējams secināt, ka objekts pieder kopumu, ja un tikai tad, ja tas ietilpst jēdzienā, definē to. Pārskatītajā Sistēma var tikai secināt, ka objekts pieder kopumu, ja un tikai tad, ja tas atbilst jēdzienam definēt daudzus, bet ne noteikti jautājumā. Rasela paradokss rodas.

Risinājums, tomēr nav pilnībā apmierināts ar Frege. Un tas bija iemesls. Dažus gadus vēlāk, sarežģītāka forma pretrunu ir konstatēts par pārskatīto sistēmu. Bet vēl pirms tas noticis, Frege pamesta savus lēmumus un, šķiet, nonāk pie secinājuma, ka viņa pieeja bija vienkārši nereāli, un loģika būs iztikt bez kāda no kopas.

Joprojām ir ierosināts citiem, salīdzinoši daudz veiksmīgus alternatīvus risinājumus. Tie ir aplūkoti turpmāk.

Teorija veidu

Tika norādīts iepriekš, ka Frege bija adekvāta reakcija uz paradoksiem uzstādīšanas teorija redakcijā izstrādāti īpašībām. Frēges reakcija sekoja no visbiežāk apspriesti risinājumu šāda veida paradokss. Tā ir balstīta uz to, ka īpašības ir pakļautas dažāda veida un kāda veida īpašumu nekad nav tāds pats kā posteņiem, uz kuriem tā attiecas.

Tādējādi rodas pat jautājums, vai īpašums ir piemērojama sevi. Loģiskā valodā, kas atdala elementus šādas hierarhijas, izmantojot teoriju veidiem. Lai gan tas, ko Frege, pirmo reizi jau ir izmantots tas ir pilnībā izskaidrots un pamatots Russell pielikumā par "principu". To veidu teorija bija pilnīgāks nekā atšķirībām Frege līmeņiem. Viņa dalījās īpašības ir ne tikai dažādu veidu loģikas, bet arī uzstādīt. tips teorija atrisināt pretrunu paradoksu Russell šādi.

Lai tā būtu filozofiski atbilstošs, pieņemšana teoriju veidu īpašību prasa attīstību teoriju rakstura īpašībām, tādējādi var izskaidrot, kāpēc viņi nevar piemērot uz sevi. Pēc pirmā acu uzmetiena, tas ir jēga predikatīvu savu īpašumu. Par to pašu identitāte īpašums, tas, šķiet, tas ir arī pašu identitāte. Īpašums šķiet jauka patīkams. Tādā pašā veidā, acīmredzot, šķiet viltus teikt, ka īpašums ir kaķis ir kaķis.

Tomēr, dažādi domātāji attaisno sadalījumu dažādu veidu. Russell pat sniedza dažādus izskaidrojumus dažādos laikos viņa karjerā. Savukārt loģiskais nošķiršanu dažādās koncepcijas Frege līmeņu nāk no viņa teorijas nepiesātinātiem jēdzieniem. Jēdzieni kā funkciju, būtībā, ir nepilnīgi. Lai nodrošinātu vērtību, tie ir arguments. Jūs nevarat vienu koncepciju predikatīvu jēdzienu paša veida, jo tas tomēr prasa savu argumentu. Piemēram, lai gan ir iespējams veikt kvadrātsakni kvadrātsakni numuru, jūs varat ne tikai izmantot kvadrātsakne funkciju kvadrātsakni funkciju un iegūt rezultātu.

Par konservatīvisms īpašumiem

Vēl viens iespējamais risinājums ir paradokss īpašības negācija īpašības esamību nekādos dotajos apstākļos, vai arī veido predikātu. Protams, ja kāds eschews metafizisks īpašības gan objektīvu un neatkarīgu elementu kopumā, ja mēs ņemam nominālisms paradoksu var izvairīties pavisam.

Tomēr, lai atrisinātu pretruna nav tik ekstrēms. Loģikas augstāks pasūtījumu sistēmas izstrādātas Frege un Russell, ietver to, ko sauc par konceptuālu principu, saskaņā ar kuru katrs atvērt formulas, neatkarīgi no tā, cik sarežģīts pastāv kā daļu no īpašuma vai koncepcijas, piemēram, tikai tās preces, kas atbilst šo formulu. Tās piemēro atribūtiem katru iespējamo apstākļu kopumu vai predikātu, nav svarīgi, cik sarežģīts tas bija.

Neskatoties uz to, ka bija iespējams veikt stingrāku Metafizika īpašības, kas dod tiesības uz objektīvu esamību vienkāršu īpašību, tostarp, piemēram, piemēram, sarkanā krāsa, stingra, laipnību un tā tālāk. D. Jūs pat varat ļaut šīm īpašībām attiecas uz sevi, piemēram, laipnību var būt laipniem.

Un pats statuss sarežģītiem atribūtiem var noliegt, piemēram, šādi "īpašības", kā, kam septiņpadsmit galvas, ir uzrakstīts zem-ūdens un tamlīdzīgi. D. Šajā gadījumā nav iepriekš stāvoklis neatbilst īpašumu, saprot kā atsevišķi esošo elementu, kas ir savas īpašības. Tādējādi nevar noliegt, ka pastāv vienkāršu īpašībām jābūt īpašuma un īpašuma, kas-nav piemērots līdz sevi un izvairīties paradoksālo situāciju, piemērojot vairāk konservatīvu metafizisks īpašības.

Rasela paradokss: risinājums

Iepriekš tika konstatēts, ka beigās viņa dzīvi Frege pilnīgi pamesta loģiku kopas. Tas, protams, viens risinājums pretruna formā komplektos: vienkāršu noliegumu par šādu elementu kopumā. Bez tam, ir arī citas tautas izvēli, pamati, no kuriem ir parādīts zemāk.

Teorija daudzu veidu

Kā minēts iepriekš, Russell spēlēja pilnīgāku teoriju veidu, kurš dalās ne tikai īpašības un koncepcijas dažādu veidu, bet arī noteikt. Russell klasisko iestatīts uz daudziem atsevišķām vienībām, daudzus komplektiem atsevišķu objektu, uc netika izskatīti objektu kopas, un daudzus komplekti - .. Sets. Daudz nekad patika veids, ļauj jums kā locekli sevi. Tāpēc nav noteikt visu kopu, kas nav biedri savu, jo jebkuram kopumu jautājumiem par to, vai tas ir kā loceklis, pati par sevi ir pārkāpums veidu. Atkal jautājums šeit ir izskaidrot Metafizika kopas izskaidrot filozofiskos pamatus sadalījumu veidiem.

noslāņošanās

1937. gadā V. V. Kuayn piedāvāja alternatīvu risinājumu, tādā veidā, līdzīgi kā teoriju veidu. Pamata informācija par to ir.

Atdalīšana elementu kopas un citi. Made tā, ka pieņēmums atrast daudzus vienmēr ir nepareizs vai bezjēdzīga. Komplekti var nodrošināt tikai tad, ja, nosakot to nosacījumi nav pārkāpums veidu. Tādējādi, Kvaina izteiciens "x nav biedrs x" ir nozīmīgs apgalvojums nenozīmē, ka pastāv kopuma visus elementus x atbilst šim nosacījumam.

Šajā sistēmā kopums pastāv kādu atvērtā formulā A, ja un tikai tad, ja tā ir stratificēta, t. E. Ja mainīgie lielumi ir piešķirts pozitīvus skaitļu tāds, ka attiecībā uz katru raksturīgo rašanos, kurā ir daudzi pirms tam mainīgais tiek piešķirts uzdevums vienība mazāks nekā mainīgajam, pēc pēc viņa. Tas bloķē Rasela paradokss, jo formula, ko izmanto, lai noteiktu problēmu kopumu, ir tas pats, pirms un pēc mainīgā dalību zīme padarot to Nestratificēts.

Bet tas vēl nav noteikt, vai tā rezultātā sistēmu, kas Kvaina sauc "Jauni pamati matemātiskā loģika" konsekventa.

noraidījums

Pilnīgi atšķirīga pieeja tiek teoriju Zermelo - Fraenkel (ZF). Lūk, arī noteikt ierobežojumu esamību kopas. Tā vietā, pieeja "no augšas uz leju" Russell un Frege, kurš sākotnēji domāja, ka visiem koncepciju, īpašumu vai apstākļi, var secināt, ka pastāv komplekta visas lietas ar šo īpašumu vai, lai sasniegtu šādu stāvokli, jo ZF-teorētiski, viss sākas "no apakšas uz augšu."

Atsevišķi elementi tukšu kopu un veido kopumu. Tādēļ, atšķirībā no iepriekšējām sistēmām un Russell Frege FIT nepieder pie universālo kopumu, kas ietver visus elementus un pat visu kopas. ZF paredz stingrus ierobežojumus esamību kopas. Var pastāvēt tikai tie, kam tā ir skaidri postulēja vai kurus var formulēt, izmantojot iteratīvs procesos un tamlīdzīgi. D.

Tad, nevis jēdziens ieguves naivo kopu, kurā teikts, ka konkrētais elements ir iekļauts komplektā, ja un tikai tad, ja tas atbilst nosacījumiem, ko lieto atdalīšanas principu izmanto DF, atdalīšana vai "šķirošanas". Tā vietā, pieņemot, ka pastāv komplekta visiem elementiem, kas ir bez izņēmumiem apmierināt noteiktu stāvokli, par katru esošo komplektu Aussonderung norāda, ka pastāv apakškopu visu elementu sākotnējā kopā, kas atbilst nosacījumam.

Tad nāk abstrakcija princips: ja iestatāt pastāv, tad visiem x A, x pieder apakškopu A, kas atbilst nosacījumam, ja un tikai tad, ja x atbilst stāvoklis C. Šī pieeja atrisina paradoksāla Russell, jo mēs nevaram vienkārši pieņemt, tas ir, noteikt visu kopu, kas nav biedri paši.

Ņemot daudz komplekti, jūs varat izvēlēties, vai sadalīt to komplekti, kas ir pats par sevi, un tiem, kas nav tādi, bet, tā kā nepastāv universāla kopa mums nav saistoši kopumu visiem kopas. Bez pieņemot problēmu nosaka Russell pretrunas nevar pierādīt.

citi risinājumi

Turklāt tika veikti turpmāki visu šo risinājumu paplašinājumi vai modifikācijas, piemēram, "Matemātikas principu" teorijas atvieglošana, "Quine" sistēmas "Matemātiskās loģikas" paplašināšana, kā arī Bernesa, Gedela un fon Neimaņa jaunākās izmaiņas. Jautājums par to, vai ir atrasta atbilde uz nepārprotamu Bertrand Russell paradoksu, joprojām tiek apspriests.