Real numuri un to īpašības

Pitagors apgalvoja, ka numurs ir pamats pasaulē par nominālvērtību ar galvenajiem elementiem. Platons uzskatīja, ka saišu skaits fenomenu un noumenon, palīdzot zināt, ko nosver un izdarīt secinājumus. Aritmētika nāk no vārda "arifmos" - numuru, sākumpunktu matemātikā. Tas ir iespējams, lai aprakstītu jebkuru objektu - no sākumskolas līdz ābeļu abstraktiem telpām.

Nepieciešams kā attīstības faktoru

In sākumposmos sabiedrības attīstībā vajadzības cilvēku ierobežo nepieciešamība, lai saglabātu rezultātu - .. Viena soma Graudu, divi graudu soma, uc Lai to izdarītu, bija dabas numurus, kopa, kas ir bezgalīgs secība pozitīvi veseli skaitļi N

Vēlāk attīstība matemātikas kā zinātne, tas bija vajadzīgs konkrētajā jomā veselu skaitļu Z - tas ietver negatīvas vērtības un nulle. Viņa izskats vietējā līmenī, tas izraisīja fakts, ka sākotnējā uzskaite bija kaut kā noteikt parādus un zaudējumus. Uz zinātniskā līmenī, negatīvi skaitļi ir devuši iespēju atrisināt vienkāršu lineāru vienādojumu. Starp citu, tas tagad ir iespējams, lai attēlam triviāla koordinātu sistēmu, ti. A. Tur bija atskaites punkts.

Nākamais solis bija nepieciešams, lai ievadītu daļējām ciparus, jo zinātne nestāv, vairāk un vairāk jaunu atklājumi pieprasīja teorētisko pamatu jaunam push izaugsmi. Tātad bija lauks racionālu skaitļu Q.

Visbeidzot, vairs neatbilst prasībām racionalitāti, jo visi jaunie atklājumi jāpamato. Tur bija lauks reāliem skaitļiem R darbi Eiklīda nesamērojamība konkrētu daudzumu, jo tās bezjēdzību. Tas ir, sengrieķu matemātiķis novietots ne tikai numuru, kā konstants, bet gan kā abstraktu vērtību, kas raksturo attiecību nesamērojams lielumus. Sakarā ar to, ka tur ir reāli skaitļi, "mēs redzējām gaismas" vērtības, piemēram, "pi" un "e", bez kura mūsdienu matemātika nebūtu notikusi.

Gala jauninājums bija sarežģīts numuru C. Tas atbildēja uz virkni jautājumu un atspēkoja iepriekš ievadīto postulātus. Sakarā ar strauju attīstību algebra rezultāta bija prognozējami - ar reāliem skaitļiem, lēmums daudzu problēmu nebija iespējams. Piemēram, pateicoties kompleksiem skaitļiem izcēlās stīgu teorija un haosu paplašināta vienādojumus hidrodinamika.

Uzstādīt teorija. Cantor

Par bezgalībai jēdziens vienmēr izraisīja pretrunas, jo nebija iespējams pierādīt vai atspēkot. Saistībā ar matemātiku, kas darbojas stingri pārbaudīta postulātus, tas izpaudās visvairāk protams, jo vairāk, ka teoloģiskā aspekts joprojām svēra zinātnē.

Tomēr, izmantojot darbā matemātiķa Georg Cantor visu laiku iekrita vietā. Viņš pierādīja, ka bezgalīgu kopas ir bezgalīgs kopumu, un ka lauks R ir lielāks nekā lauka N, ļaujiet viņiem abiem un nav gala. Vidū XIX gadsimtā, viņa idejas publiski aicināja muļķības un noziegums pret klasiskā negrozāma kanoniem, bet laiks visu saliks savās vietās.

Pamata īpašības lauka R

Faktiskais skaits ne tikai tādas pašas īpašības kā podmozhestva ka tie ietver, bet papildina cits masshabnosti, pamatojoties uz tās elementiem:

• Zero R. pastāv un pieder pie lauka c + = c 0 jebkuram c R.
• Zero pastāv un pieder pie lauka R. c x 0 = 0 jebkuram c R.
• Attiecība c: d ja d ≠ 0 pastāv un ir spēkā jebkurai c, d ir R.
• Field R lika, t.i., ja c ≤ d, d ≤ c, tad c = d jebkuram c, d R.
• Addition laukā R ir commutative, t.i., c + d = d + c, attiecībā uz jebkuru c, d R.
• Vairošanās lauka R ir commutative, t.i. x c x d = d c visiem c, d R.
• Addition laukā R ir asociatīvā t.i., (c + d) + f = c + (d + f) attiecībā uz jebkuru c, d, f R.
• Vairošanās lauka R ir asociatīvā t.i., (c x d) x f = c x (d x f) attiecībā uz jebkuru c, D, F R.
• Katram skaitu joma R pretī uz to tur, piemēram, šo c + (-c) = 0, kur c, -C no R.
• Attiecībā uz katru skaits no lauka R pastāv tās inverse, piemēram, ka c x c ^-1 = 1, kur c, c ^-1 R.
• Vienība pastāv un pieder R, tā, ka c x 1 = c, kas paredzēti jebkuram c R.
• Tas ir spēks tiesību sadalījumu, tāpēc šī c x (d + f) = c x D + C x F, jebkuram c, d, f R.
• R lauks ir nulle, nav vienāds ar vienotību.
• Field R ir pārejošs: ja c ≤ d, d ≤ f, tad c ≤ f jebkuram c, d, f R.
• In R un papildus secībā ir savstarpēji saistīti: ja c ≤ d, tad c + f ≤ d + F, lai visiem c, d, f R.
• In, R un pavairošanai Lai saistītas: ja 0 ≤ c, 0 ≤ d, tad 0 ≤ c x d jebkuram C, D R.
• Kā negatīvās un pozitīvas reāliem skaitļiem ir nepārtraukts, proti, jebkuram c, d un R f eksistē no R, kas c ≤ f ≤ d.

Modulis lauks R

Īstie skaitļi ietver tādas lietas kā moduli. Norādītā to kā | f | jebkuram f R. | f | = F, ja 0 ≤ f un | f | = -F, ja 0> f. Ja mēs uzskatām, ka modulis kā ģeometrisko vērtību, tas ir attālums - tas nav svarīgi, "ieskaitīts", jūs kā nullei noliedzoši uz pozitīva vai uz priekšu.

Sarežģītas un reāliem skaitļiem. Kādas ir līdzības un atšķirības?

Ar un lieliem, sarežģītiem un reāliem skaitļiem - tie ir viens un tas pats, izņemot to, ka pirmo reizi pievienojās imaginārā vienība i, kvadrāts, kas ir vienāds ar -1. Elements lauki R un C var tikt attēlots ar šādu formulu:

• c = d + f x i, kur d, f pieder pie lauka R, un i - iedomātu vienību.

Lai iegūtu c, R f šajā gadījumā vienkārši pieņemts, ka nulle, ti, ir tikai reālā daļa numuru. Jo lauks kompleksiem skaitļiem ir tādu pašu funkciju, kas, kā jomā reālās, f x i = 0, ja F = 0.

Attiecībā praktiskām atšķirībām, piemēram, lauka R Kvadrātvienādojums nevar atrisināt, ja diskriminanta ir negatīvs, bet C kaste neuzliek šīs ierobežojumu, ieviešot iedomātu vienību i.

rezultāti

"Ķieģeļi" no aksiomām un postulē, uz kura bāzes matemātiku, nemainās. Uz dažiem no tiem, jo palielinās informācijas un ieviešot jaunu teoriju ievieto šādus "ķieģeļus", kas nākotnē var kļūt par pamatu nākamo soli. Piemēram, dabas numurus, neskatoties uz to, ka tie ir apakškopa reālo lauka R, nezaudē savu aktualitāti. Tas viņiem pamats visu elementāru aritmētiku, kas sākas ar zināšanām par cilvēka miera.

No praktiskā viedokļa, reāli skaitļi izskatās taisnu līniju. Ir iespējams izvēlēties virzienu, lai noteiktu izcelsmi un piķis. Tieša veido bezgalīgu punktu skaits, no kurām katra atbilst vienam reālu numuru, neatkarīgi no tā, vai ir vai nav racionāli. No apraksta ir skaidrs, ka mēs runājam par koncepciju, kas ir balstīta matemātiku vispār, un matemātisko analīzi , jo īpaši.