Sarežģīti numuri. Iedomuālo daudzumu nozīme un attīstība

Cipari ir pamata matemātiskie objekti, kas nepieciešami dažādiem aprēķiniem un aprēķiniem. Dabisko, veselo skaitļu, racionālo un neracionālo skaitlisko vērtību kopums veido tā saukto reālo skaitļu kopu. Bet ir arī diezgan neparasta kategorija - kompleksi skaitļi, kurus Rene Dekarta ir definējuši kā "iedomātas vērtības". Un viens no vadošajiem astoņpadsmitā gadsimta matemātiķiem Leonards Eilers ierosināja tos apzīmēt ar burtu i no franču valodas imaginare (iedomāts). Kādi ir sarežģīti numuri?

Tā sauktie formas a + bi izteicieni, kuros a un b ir reāli skaitļi, un i ir īpašas vērtības ciparu indikators, kura kvadrāts ir -1. Darbības kompleksos skaitļos tiek veikti ar tādiem pašiem noteikumiem kā dažādas matemātiskas operācijas polinomi. Šī matemātiskā kategorija neizsaka mērījumu vai aprēķinu rezultātus. Lai to izdarītu, pietiek ar reāliem skaitļiem. Par ko tad viņi patiešām ir vajadzīgi?

Kompleksie skaitļi kā matemātiskā koncepcija ir nepieciešami, jo dažiem vienādojumiem ar reāliem koeficientiem nav risinājumu "parasto" skaitļu reģionā. Līdz ar to, lai paplašinātu nevienlīdzības risināšanas jomu, radās nepieciešamība ieviest jaunu matemātisko kategoriju. Kompleksie skaitļi, kas galvenokārt ir abstrakta teorētiskā vērtība, ļauj atrisināt vienādojumus, piemēram, x ² + 1 = 0. Jāatzīmē, ka, neskatoties uz visu šķietamo formālo raksturu, šī kategoriju numuri ir diezgan aktīvi un plaši izmantoti, piemēram, lai atrisinātu dažādus praktiskus Elastības teorijas, elektrotehnikas, aerodinamikas un hidromehānikas, atomu fizikas un citu zinātņu disciplīnu uzdevumi.

Izgatavojot grafus, tiek izmantots kompleksā skaitļa modulis un arguments. Šo rakstīšanas formu sauc par trigonometrisko. Turklāt šo skaitļu ģeometriskā interpretācija vēl vairāk paplašināja to piemērošanas jomu. Kļuva iespējams tos izmantot dažādiem kartogrāfiskiem aprēķiniem.

Matemātika ir nonākusi tālu no vienkāršiem dabīgiem skaitļiem līdz sarežģītām sarežģītām sistēmām un to funkcijām. Par šo tēmu jūs varat uzrakstīt atsevišķu mācību grāmatu. Šeit mēs aplūkojam tikai dažus skaitļu teorijas evolūcijas momentus , lai kļūtu skaidrāki visi vēsturiskie un zinātniskie priekšnoteikumi konkrētas matemātiskās kategorijas parādīšanās.

Senie grieķi matemātiķi uzskatīja "īstus" tikai dabiskus skaitļus, kurus var izmantot, lai sarindotu kaut ko. Jau otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. E. Senie ēģiptieši un babiloni daudzos praktiskajos aprēķinos aktīvi izmantoja frakcijas. Nākamais nozīmīgais pavērsiens matemātikas attīstībā bija negatīvo skaitļu parādīšanās Senajā Ķīnā divus simtus gadus pirms mūsu ēras. Tos izmantoja arī seno grieķu matemātiķis Diofantus, kurš zināja vienkāršāko operāciju noteikumus uz tiem. Ar negatīvu skaitļu palīdzību kļuva iespējams aprakstīt dažādas izmaiņas daudzumos ne tikai pozitīvā plaknē.

Mūsu laikmeta septītajā gadsimtā precīzi tika noteikts, ka pozitīvo skaitļu kvadrātveida saknēm vienmēr ir divas nozīmes - izņemot pozitīvus, arī negatīvus. No tā pēdējā nebija iespējams iegūt kvadrātveida sakni ar parastām tā laika algebriskām metodēm: nav tādas x vērtības, ka x ² = 9. Ilgu laiku tas nebija tik nozīmīgs. Un tikai sešpadsmitajā gadsimtā, kad kibiskais vienādojums parādījās un sāka aktīvi pētīt, bija nepieciešams izvilkt kvadrātsakni no negatīviem skaitļiem, jo formulas šo izteiksmju atrisināšanai satur ne tikai kubveida, bet arī kvadrātveida saknes.

Šāda formula ir nevainojama, ja vienādojumā ir ne vairāk kā viena reālā sakne. Gadījumā, ja vienādojumā ir trīs reālas saknes, tad, kad tie tika izārstēti, tika iegūts skaitlis ar negatīvu vērtību. Tātad izrādījās, ka veids, kā izvilkt trīs saknes, notiek, izmantojot operāciju, kas nav iespējama no tā laika matemātikas viedokļa.

Lai izskaidrotu radīto paradoksu, itāļu algebraists J. Cardano tika lūgts ieviest jaunu kategoriju neparasta rakstura numurus, kurus sauca par sarežģītiem. Interesanti, ka pats Kardāns uzskatīja tos par bezjēdzīgiem un visos iespējamos veidos mēģināja izvairīties no tās pašas piedāvātās matemātiskās kategorijas. Bet jau 1572.gadā parādījās cita itāļu algebriskā Bombelli grāmata, kurā detalizēti tika izklāstīti darbības noteikumi sarežģītiem numuriem.

Visā septiņpadsmitajā gadsimtā turpināja apspriest šo skaitļu matemātisko raksturu un to ģeometriskās interpretācijas iespējas. Turklāt pakāpeniski tika pilnveidota un uzlabota strādājošo ar tiem tehnika. Un 17. un 18. gs. Mijā tika izveidota vispārēja komplekso skaitļu teorija. Krievijas un padomju zinātnieki ieviesa milzīgu ieguldījumu kompleksu mainīgo funkciju teorijas izstrādē un pilnveidošanā. NI Muskhelishvili iesaistījās tā pielietošanā elastības teorijas problēmās, Keldysh un Lavrentyev atrada pielietojumu kompleksos skaitļos hidro un aerodinamikas jomā, kā arī Vladimirovu un Bogolyubovu kvantu lauku teorijā.