Nenoteiktais integrālis. Aprēķināšana nenoteiktu integrāļi

Viena no galvenajām sadaļām matemātiskās analīzes ir neatņemama calculus. Tas aptver ļoti plašu jomu objektu, kur pirmā - tas ir nenoteiktais integrālis. Amats tas stāv kā atslēga, kas ir vēl vidusskolā atklāj arvien perspektīvas un iespējas, numuru, kas apraksta augstāko matemātiku.

izskats

Pēc pirmā acu uzmetiena, šķiet, pilnīgi neatņemama mūsdienu, aktuālu, taču praksē izrādās, ka viņš atnāca atpakaļ 1800 BC. Sākums oficiāli uzskatīt Ēģipti par nesasniedza mums agrāk pierādījumus tās pastāvēšanu. Tā trūkuma dēļ informācijas, vienlaikus novietots vienkārši kā parādība. Viņš vēlreiz apliecina līmeņa zinātnes attīstības tautu šajos laikos. Visbeidzot, darbi tika atrastas seno grieķu matemātiķi, skaitot no 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. Tie apraksta izmantoto metodi, kurā nenoteiktais integrālis, kuras būtība bija atrast apjomu vai platība līklīniju formas (trīsdimensiju un divdimensiju plaknē, attiecīgi). Aprēķins ir balstīts uz dalīšanas sākotnējā attēlā stāšanās bezgalīgi komponentiem principam, ar nosacījumu, ka apjoms (apgabals) jau ir zināms, ka tām. Laika gaitā, metode ir pieaudzis, Arhimēds to izmantoja, lai atrastu platība parabola. Līdzīgi aprēķini vienlaikus veikt vingrinājumus Senajā Ķīnā, kur viņi bija pilnīgi neatkarīga no grieķu kolēģiem zinātni.

attīstība

Nākamais sasniegums XI gadsimtā pirms mūsu ēras ir kļuvis darbs arābu zinātnieks "vagons" Abu Ali al-Basri, kurš uzstāja robežas jau zināms, tika iegūti no neatņemamu formulas, lai aprēķinātu summas par summām un grādiem no pirmā uz ceturto, piemērojot šo zināms mums indukcijas metode.
Prāti šodien ir apbrīnoja senie ēģiptieši izveidoja pārsteidzošu pieminekļi bez speciāliem instrumentiem, izņemot, ka viņu pašu rokās, bet nav strāvas mad zinātnieki no laika ne mazāk brīnumu? Salīdzinot ar pašreizējo laikos savu dzīvi, šķiet gandrīz primitīvi, bet lēmums par nenoteiktu integrāļi secināja visur un izmanto praksē tālākai attīstībai.

Nākamais solis notika XVI gadsimtā, kad Itālijas matemātiķis Cavalieri celta nedalāmu metodi, kas paņēma Per ferma. Šie divi personība lika pamatus mūsdienu neatņemamu calculus, kas ir pazīstams brīdī. Tie piesaistīti jēdzienus diferenciāciju un integrāciju, kas iepriekš bija redzams, kā pašpietiekams vienībām. Ar un liela, tad matemātika šajā laikā bija sadrumstalota daļiņas secinājumi pastāv ar sevi, ar ierobežotu lietošanu. Veids, kā apvienot un atrast kopīgu pamatu bija vienīgā taisnība tajā brīdī, pateicoties viņam, mūsdienu matemātiskās analīzes bija iespēja augt un attīstīties.

Ar pagājušo laiku mainās viss un neatņemama simbols, kā arī. Ar un liela, tā tika izraudzīta zinātnieki, kas savā veidā, piemēram, Ņūtons izmanto kvadrātveida ikona, kas likts integrable funkcija, vai vienkārši kopā. Šī atšķirība ilga līdz XVII gadsimtā, kad orientieris visai teorijas matemātiskā analīze zinātnieku Gotfrid Leybnits ieviesušas šādu raksturu pazīstamo mums. Pagarinātas "S" ir faktiski balstās uz šo vēstuli no latīņu alfabēta, jo apzīmē summu primitīvi. No integrāli nosaukumu ieguvis pateicoties Jakob Bernulli, pēc 15 gadiem.

Oficiāla definīcija

Nenoteiktais integrālis atkarīga definīciju primitīvas, tādēļ mēs uzskatām to pirmajā vietā.

Nenoteiktais integrālis - ir apgriezto funkciju atvasinājumus, praksē tā tiek saukta primitīva. Pretējā gadījumā: primitīvs funkcija d - ir funkcija D, kas ir atvasinājums v <=> V '= v. Meklēšana primitīvs ir aprēķināt nenoteiktais integrālis, un pats process tiek saukts integrāciju.

piemērs:

Funkcija s (y) = y ^3, un tā primitīvs S (y) = (y ^4/4).

Visu primitīviem no funkciju komplekts - tas ir beztermiņa neatņemama, apzīmē to šādi: ∫v (x) dx.

Saskaņā ar to, ka V (x) - ir tikai daži primitīvs oriģināls funkcija, izteiksme tur: ∫v (x) dx = V (x) + C, kur C - konstante. Saskaņā ar patvaļīgu konstanti attiecas uz jebkuru nemainīgs, jo tās atvasinājums ir nulle.

īpašības

Īpašības glabājis nenoteiktais integrālis, būtībā, pamatojoties uz definīciju un īpašībām atvasinājumu.
Apsveriet galvenos punktus:

• neatņemama atvasinājums no primitīvas ir primitīvas pati plus patvaļīga konstante C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• atvasinājums no integrāli funkcija ir oriģināls funkcija <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstante ir ņemts no zem neatņemamu zīmi <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kur k - ir patvaļīgs;
• integrāls, kas ir ņemts no pozīciju summu identiski vienāds ar summu integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Pēdējās divas īpašības, var secināt, ka nenoteiktais integrālis ir lineāra. Sakarā ar to, mums ir: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Lai redzētu piemērus nosaka risinājumus nenoteiktu integrāļi.

Jums ir atrast neatņemama ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

No piemēra varam secināt, ka jūs nezināt, kā risināt nenoteiktu integrāļi? Vienkārši atrast visus primitīvus! Bet meklēt zemāk aprakstītajiem principiem.

Metodes un piemēri

Lai atrisinātu integrālis, varat ķerties pie šādām metodēm:

• gatavi izmantot tabulas;
• integrējot pa daļām;
• integrēta aizstājot mainīgo;
• summējot zīmē starpības.

galdi

Visvairāk vienkāršs un patīkams veids. Šobrīd matemātiskā analīze var lepoties ar diezgan plašu tabulas, kas izklāstīti pamata formulu nenoteiktu integrāļi. Citiem vārdiem sakot, ir veidnes iegūtas līdz jums, un jūs varat veikt tikai labumu no tiem. Šeit ir saraksts ar galvenajām galda pozīcijām, kuras var tikt parādītas gandrīz katru gadījumu, ir risinājums:

• ∫0dy = C, kur C - konstante;
• ∫dy = y + C, kur C - konstante;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, kur C - konstante, un n - numurs atšķiras no vienotību;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kur C - konstante;
• ^{∫e y dy = e y + C} , kur C - konstante;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, kur C - konstante;
• ∫cosydy = siny + C, kur C - konstante;
• ∫sinydy = -cosy + C, kur C - konstante;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, kur C - konstante;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, kur C - konstante;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kur C - konstante;
• ∫chydy = kautrīgs + C, kur C - konstante;
• ∫shydy = CHY + C, kur C - konstante.

Ja nepieciešams, veikt pāris soļus novest integrand pie tabulas apskatīt un izbaudīt uzvaru. Piemērs: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Saskaņā ar lēmumu, ir skaidrs, ka, piemēram, galda integrand trūkst reizinātāju 5. Mēs to pievienotu paralēli šai reizinot ar 1/5 vispārējai izteiksme nemainījās.

Integrāciju daļas

Aplūkosim divas funkcijas - Z (y), un X (Y). Tiem jābūt pastāvīgi nodalāmas savā domēnā. Vienā diferenciācijas īpašībām mums ir: d (XZ) = XDZ + zdx. Integrējot abas puses, mēs iegūstam: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Pārrakstīšanu iegūto vienādojumu, mēs iegūt formulu, kurā aprakstīta metode integrācijas pa daļām: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Kāpēc tas ir vajadzīgs? Tas, ka daži no piemēriem, ir iespējams vienkāršot, teiksim, samazināt ∫zdx ∫xdz, ja tā ir tuvu tabulas veidā. Arī šis formula var izmantot vairāk nekā vienu reizi, optimālu rezultātu.

Kā atrisināt nenoteiktu integrāļus šādā veidā:

• Jāaprēķina ∫ (s + 1), e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = E 2x} ds} = ((s + 1) E ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• jāaprēķina ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = S, dy = ds} = slns - ∫s x ds / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Aizstājot mainīgo

Šī risināšanas nenoteiktos integrāļus princips ir ne mazāk pieprasītas nekā diviem iepriekšējiem, gan sarežģīta. Metode ir šāda: Ļaujiet V (x) - integrāli dažu funkciju v (x). Gadījumā, ja pats par sevi neatņemama piemērs slozhnosochinenny nāk, varētu apjukt un iet uz leju nepareizu ceļu risinājumus. Lai izvairītos no šīs prakses maiņu no mainīgā x Z, kurā kopumā izteiciens vizuāli vienkāršotu saglabājot z atkarībā no x.

Matemātiskā izteiksmē, tas ir šāds: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), kur x = y ( z) - aizstāšana. Un, protams, apgriezto funkcija z = y ^-1 (x) pilnībā apraksta attiecības un attiecības mainīgajiem lielumiem. Svarīga piezīme - diferenciālais dx obligāti jāaizstāj ar jaunu diferenciālā dz, jo maiņas mainīgā nenoteiktu integrāli saistīts aizstājot to visur, ne tikai uz integrand.

piemērs:

• jāatrod ∫ (i + 1) / (s ² + 2S - 5) ds

Piemērot aizstāšanas z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Tad dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Tā rezultātā, šādu izteiksmi, kas ir ļoti viegli aprēķināt:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• Jums ir jāatrod neatņemama ∫2 ^s e ^s dx

Lai atrisinātu pārrakstīt šādā formā:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} 2e) s ds.

Mēs apzīmē ar = 2e (nomaiņu argumentu šis solis nav, tas joprojām ir s), mēs dodam mūsu šķietami sarežģītas neatņemama pamata tabulas veidā:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + c = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Summējot diferenciālo zīmi

Ar un liela, šī metode nenoteiktu integrāļi - dvīņu brālis no maiņas mainīgā principu, bet ir atšķirības reģistrācijas procesā. Apskatīsim sīkāk.

Ja ∫v (x) dx = V (x) + C un y = z (x), tad ∫v (y) dy = V (y) + C.

Tajā pašā laikā mēs nedrīkstam aizmirst triviāli neatņemama transformācijas, kuras vidū:

• dx = d (x + a), un kur - katrs konstante;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kur a - konstante atkal, bet nav nulle;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -D (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ja mēs uzskatām, vispārējo lietu, kur mēs aprēķināt nenoteiktais integrālis, piemērus var subsumēt ar vispārējo formulu w "(x) dx = dw (x).

piemēri:

• jāatrod ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -Ln | COSS | + C.

tiešsaistes palīdzība

Dažos gadījumos, vaina, kas var kļūt vai slinkums, vai steidzami nepieciešams, varat izmantot tiešsaistes uzvedņu, vai drīzāk, lai izmantotu kalkulatoru nenoteiktu integrāļi. Neskatoties uz acīmredzamo sarežģītību un pretrunīgo raksturu integrāļi, lēmums ir pakļauts to noteiktu algoritmu, kas ir balstīta uz principu ", ja jums nav ..., tad ..." principu.

Protams, īpaši sarežģīts piemēri šāda kalkulatoru nevar apgūt, jo ir gadījumi, kad lēmums ir jāatrod mākslīgi "piespiedu", ieviešot atsevišķus elementus procesā, jo rezultāti ir acīmredzami veidi, kā sasniegt. Neskatoties uz pretrunīgo raksturu šo paziņojumu, tā ir taisnība, jo matemātikā, principā abstrakts zinātne, un tās galvenais mērķis uzskata nepieciešamība pilnvarot robežas. Patiešām, vienmērīga palaist-in teorijas ir ļoti grūti, lai pārvietotos uz augšu un attīstās, tāpēc neuzskatiet, ka piemēri risināšanas nenoteiktos integrāļus, kas deva mums - tas ir augstums iespējām. Bet, atpakaļ uz tehnisko pusi lietas. Vismaz pārbaudīt aprēķinus, varat izmantot pakalpojumu, kurā tas tika rakstīts, lai mums. Ja ir nepieciešams, lai automātiski aprēķinātu sarežģītu izteiksmes, tad viņiem nav jāizmanto daudz nopietnu programmatūru. Jāpievērš uzmanību galvenokārt uz vidi MatLab.

iesniegums

Par nenoteiktu integrāļi pie pirmā acu uzmetiena lēmums šķiet pilnīgi atdalīts no realitātes, jo tas ir grūti redzēt acīmredzamo izmantošanu plaknes. Patiešām, tieši tos izmantot jebkurā vietā, kur nevar, bet tie ir nepieciešami starpposma elements procesā atsaukšanu risinājumu izmanto praksē. Tādējādi muguras diferenciācijas integrācija, tādējādi aktīvi piedaloties procesā risināt vienādojumus.
Savukārt šie vienādojumi ir tieša ietekme uz lēmumu mehāniskas problēmas, trajektorijas aprēķināšanu un siltumvadītspēja - īsumā, visu, kas veido tagadni un nākotnes veidošanā. Nenoteikts neatņemama, piemēri, no kuriem mēs esam uzskata iepriekš, triviāli tikai pēc pirmā acu uzmetiena, kā bāzi, lai veiktu vairāk un vairāk jaunus atklājumus.