Matemātiskā matrica. Matricu pavairošana

Pat senās Ķīnas matemātiķi savos aprēķinos izmanto ierakstu tabulu veidā ar noteiktu skaitu rindu un kolonnu. Tad līdzīgi matemātiskie objekti tika saukti par "burvju laukumiem". Lai arī ir zināmi gadījumi, kad tiek izmantotas tabulas trīsstūrveida formā, kas nav plaši izmantotas.

Līdz šim matemātisko matricu saprot kā taisnstūra formas apjomu ar noteiktu skaitu kolonnu un simbolu, kas nosaka matricas izmēru. Matemātikā šī rakstīšanas forma ir atradusi plašu pielietojumu ierakstīšanai kompaktā diferenciālo sistēmu formā, kā arī lineāros algebriskos vienādojumos. Tiek pieņemts, ka rindu skaits matricā ir vienāds ar sistēmā esošo vienādojumu skaitu, kolonnu skaits atbilst tam, cik daudz nezināmu ir jānosaka sistēmas atrisināšanā.

Turklāt, ka pati matrica tās risinājuma gaitā atklāj nezināmas funkcijas, kas iestrādātas stāvoklī vienādojumu sistēmā, ir vairākas algebriskās operācijas, kuras var veikt šim matemātiskajam objektam. Šajā sarakstā ir iekļauti matrices ar vienādiem izmēriem. Matricu reizināšana ar piemērotiem izmēriem (jūs varat reizināt tikai ar matricu, no vienas puses, kam kolonnu skaits ir vienāds ar rindu skaitu matricas otrā pusē). Ir arī iespējams pavairot matricu ar vektoru vai lauka vai pamatgredzena elementu (citādi skalārs).

Ņemot vērā matricu pavairošanu, mums rūpīgi jāuzrauga, vai pirmās kolonnu skaits stingri atbilst otra rindu skaitam. Pretējā gadījumā šī darbība virs matricēm netiks noteikta. Saskaņā ar noteikumu, saskaņā ar kuru matricu reizina ar matricu, katrs jaunās matricas elements tiek pielīdzināts attiecīgo elementu produktu summai no pirmās matricas rindas uz elementiem, kas ņemti no otras kolonnas.

Lai iegūtu skaidrību, apsveriet piemēru par to, kā notiek matricas reizināšana. Mēs ņemam matricu A.

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2

Reiziniet to ar matricu B

3 -2

1 0

4 -3.

Rezultātā iegūto matricu pirmās kolonnas pirmās rindas elements ir 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Attiecīgi pirmajā rindiņā otrajā ailē būs elements, kas ir vienāds ar 2 * (-2) + 3 * 0 + (-2) * (-3), un tā tālāk, līdz katra jaunās matricas elements ir aizpildīts. Matricas reizināšanas noteikums paredz, ka matricas produkta rezultāts ar parametriem mxn uz matricas ar attiecību nxk ir tabula ar izmēriem m x k. Saskaņā ar šo noteikumu var secināt, ka vienmēr ir definēts tā saukto kvadrātu matricu produkts ar tādu pašu secību.

No rekvizītiem, kam ir matricas reizinājums, ir jāizceļ kā viena no galvenajām lietām, ka šī darbība nav komutatīvā. Tas ir, matricas M produkts ar N nav vienāds ar N produkciju ar M. Ja kvadrātveida matricās ar tādu pašu secību tiek novērots, ka to tiešie un apgrieztie produkti vienmēr tiek noteikti, atšķirīgi tikai rezultātā, tad taisnstūrveida matricām šāds definīcijas nosacījums ne vienmēr ir izpildīts.

Matricu pavairošanai ir vairākas īpašības, kurām ir skaidri matemātiski pierādījumi. Reizināšanas asociatīvais raksturs nozīmē šādas matemātiskās izteiksmes pareizību: (MN) K = M (NK), kur M, N un K ir matricas ar parametriem, kuriem tiek noteikts reizinājums. Reizināšanas sadalījums pieļauj, ka M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), kur L ir skaitlis.

Matricas reizināšanas īpašības sekas, ko sauc par "asociatīvā", nozīmē, ka ierakstu, kurā ir trīs vai vairāk faktori, var ierakstīt, neizmantojot iekavās.

Izplatīšanas īpašības izmantošana ļauj apskatot matricas izteiksmes, iekavās. Mēs pievēršam uzmanību, ja mēs atvērām iekavas, tad mums jāsaglabā faktoru secība.

Matrica izteiksmju izmantošana ļauj ne tikai kompakti ierakstīt apgrūtinošās vienādojumu sistēmas, bet arī atvieglo to apstrādes un risināšanas procesu.