No sine leņķa atvasinājums ir vienāds ar kosinuss tādā pašā leņķī

Dana vienkāršs trigonometrija funkcija y = Sin (x), kas ir nodalāmas katrā punktā visu domēnu. Mums ir jāpierāda, ka atvasinājums sine jebkuru argumentu ir vienāds ar kosinuss tādā pašā leņķī, tas ir, "= Cos (x).

Pierādījums tam, ir balstīta uz atvasinājuma definīcijā funkciju

Mēs definējam x (patvaļīgu) kādā mazā apkaimē konkrēta punkta x SH _0. Mēs rādīs funkciju vērtību tajā un tajā punktā x, lai atrastu pieaugumu konkrētā funkciju. Ja SH - arguments pieaudzis, jaunais arguments - tas x ₀ + Δx = x vērtība šīs funkcijas konkrētā vērtību argumentu (x) ir vienāds Sin (x ₀ + Δx), funkcija vērtība konkrētā brīdī (x _0), ir arī zināms .

Tagad mums ir Δu = sin (x ₀ + SH) -Sin (x ₀₎ - iegūst pieauguma funkciju.

Saskaņā ar formulu sine summas divās nevienlīdzīgās leņķu mēs nomainīsim starpību Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (SH) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) mīnus Sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (SH).

Izpildītie permutation termini sagrupēti pirmais līdz trešais Sin (x _0), izņemts kopīgo faktoru - sine - iekavās. Mēs saņemti ekspresijas Cos starpību (SH) -1. Tas pa kreisi, lai mainītu zīmi priekšā iekavās un iekavās. Zinot to, kas ir 1-Cos (SH), mēs veikt izmaiņas un saņemt vienkāršota izteiksme Δu, kas pēc tam tiek dalīta ar SH.
Δu / SH būs ir šādā formā: Cos (x ₀₎ · Sin (SH) / SH 2 · Sin ² (0.5 x SH) · Sin (x ₀₎ / SH. Tas ir attiecība starp pieauguma funkciju uz uzņemšanu pieauguma argumentu.

Tas ir rast limitu koeficientiem, kas iegūti ar mums Lim SH laikā, tiecoties uz nulli.

Ir zināms, ka limits Sin (SH) / Δx ir vienāds ar 1, ar nosacījumu. Un termins 2 · Sin ² (0.5 x SH) / SH in iegūto summu īpaši pārvērtības līdzekli, kas satur kā pirmo pastiprinošo ievērojamu ierobežojumu: skaitītājā frakcijas un znemenatel izdalot ar 2, kvadrāts sine nomainīt ierīci. Lūk, kā:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Šīs izpausmes, ja SH tiecas uz nulli, ierobežojums būs vienāds ar skaitu nulles (0 reizināts ar 1). Izrādās, ka ierobežojums attiecību Δy / SH ir Cos (x ₀₎ · 1-0, tas ir Cos (x _0), izpausme, kas ir neatkarīgs no SH tendence 0. secinājums: atvasinājums sine jebkura leņķa, ir vienāds ar x kosinuss x, var tikt rakstīts kā: y '= Cos (x).

Rezultātā formula ir norādīts tabulā zināmo atvasinājumu, kur visas elementāru funkciju

Atrisināt problēmas, kur viņš tiekas atvasinājums sine, varat izmantot noteikumus diferenciācijas un ready-made formulām tabulā. Piemēram: atrast atvasinājums vienkāršāko funkciju y = 3 · Sin (x) -15. Mēs izmantojam elementāru atvasināšanas kārtulu noņemšana skaitliskā koeficientu zīmē atvasinājuma un aprēķināt atvasinājums nemainīgu numuru (kas ir nulle). Pieliek sine tabula vērtība atvasinājuma ar leņķa x vienāds COS (x). Saņemt atbildi: y '= 3 · Cos (x) -O. Šis atvasinājums, savukārt, ir arī vienkāršs funkcija y = H · Cos (x).

Par sine atvasinājumu kvadrātā jebkuru argumentu

Aprēķinot izteiksmi (Sin ² (x)) ", ir jāatceras, cik diferencēta kompleksu funkciju. Tātad, ² = Sin (x) - ir spēks darbojas kā sine kvadrātā. Tās arguments ir arī trigonometriskās funkcijas, sarežģīts arguments. Ar šajā gadījumā rezultāts ir vienāds ar produkta pirmā reizinātājs ir kvadrātveida kompleksa atvasinājums argumentu, un otrais - atvasinājums sine. Šeit ir noteikums, lai atšķirtu funkcija funkciju: (u (v (x))) "ir (u (v (x)))" · (v (x)). " Izteikšana v (x) - komplekss arguments (iekšējā funkcija). Ja dotā funkcija "y ir vienāda ar sine brusas X", tad atvasinājums no šī kompozīta funkcija ir y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). Produkts no pirmās koeficienta dubultojās - atvasinājums zināms eksponenciālo funkciju, un Cos (x) - atvasinājums sinus komplekss arguments no kvadrātiskā funkciju. Gala rezultātu var pārveidot, izmantojot formulu no trigonometriskais sine dubultā leņķa. A: atvasinājums ir Sin (2 · x). Šī formula ir viegli atcerēties, to bieži izmanto kā galda.