Būla algebra. Loģikas algebra. Matemātiskās loģikas elementi

Mūsdienu pasaulē mēs arvien vairāk izmanto dažādas mašīnas un sīkrīkus. Un ne tikai tad, kad ir jāpiemēro burtiski necilvēcīgs spēks: pārvietot slodzi, pacelt to uz augstu, rakt garu un dziļu tranšeju utt. Mūsdienās automašīnas savāc roboti, ēdienu sagatavo multivarkvāte, un elementārus aprēķinu aprēķinus veic kalkulatori. Arvien vairāk mēs dzirdam izteicienu "Boolean algebra". Varbūt ir pienācis laiks saprast cilvēka lomu robota izveidē un mašīnu spēju atrisināt ne tikai matemātiskos, bet arī loģiskos uzdevumus.

Loģika

Tulkots no grieķu valodas, loģika ir pasūtīta domāšanas sistēma, kas rada attiecības starp noteiktiem nosacījumiem un ļauj izdarīt secinājumus, pamatojoties uz pieņēmumiem un pieņēmumiem. Diezgan bieži mēs lūdzam viens otram: "Vai tas ir loģiski?" Atbilde atbilst mūsu pieņēmumiem vai kritizē domu gaitu. Bet process neapstājas: mēs turpinām domāt.

Dažreiz nosacījumu skaits (ievada) ir tik liels, un to savstarpējās attiecības ir tik sarežģītas un sarežģītas, ka cilvēka smadzenes nespēj "visu pārtvert" uzreiz. Lai saprastu, kas notiek, var paiet vairāk nekā mēnesis (nedēļā, gadā). Bet mūsdienu dzīve nedod mums šādus laika intervālus lēmumu pieņemšanai. Un mēs vēršamies pie datoru palīdzības. Un tieši šeit parādās loģikas algebra ar tā likumiem un īpašībām. Lejupielādējot visus sākotnējos datus, mēs ļaujam datoram atpazīt visas attiecības, novērst pretrunas un atrast apmierinošu risinājumu.

Matemātika un loģika

Visslavenākais Gotfrīds Wilhelms Leibniz formulēja jēdzienu "matemātiskā loģika", kura uzdevumi bija pieejami tikai šauram zinātnieku lokam. Īpaša interese šajā virzienā neradīja, un līdz pat XIX gadsimta vidum daži zināja par matemātisko loģiku.

Lielu interesi par zinātniskām kopienām izraisīja strīds, kurā anglis Džordžs Buls paziņoja par nodomu izveidot matemātikas nodaļu, kurai praktiski nebija praktiskas pielietošanas. Kā mēs atceramies no vēstures, tajā laikā aktīvi attīstījās rūpnieciskā ražošana, attīstījās visa veida palīgmašīnas un mašīnas, tas ir, visi zinātniskie atklājumi bija praktiski orientēti.

Skatoties uz priekšu, mēs teiksim, ka Boolean algebra ir visvairāk izmantota matemātikas daļa mūsdienu pasaulē. Tātad strīds zaudēja viņa Boule.

George Boule

Īpaša uzmanība jāpievērš autora personībai. Pat ņemot vērā to, ka agrāk cilvēki pieauga, nekā mums, mēs joprojām nevaram aizmirst, ka 16 gadu vecumā G.Boole mācījās ciemata skolā, un pēc 20 gadu vecuma viņš atvēra savu skolu Lincolnā. Matemātiķis perfekti apguvis piecas svešvalodas un savā brīvajā laikā nolasīja Ņūtona un Lagranža darbu. Un tas viss ir par vienkārša darbinieka dēlu!

1839. gadā Boule vispirms nosūtīja savus zinātniskos dokumentus uz Kembridžas Matemātikas žurnālu. Zinātniekam bija 24 gadi. Boles darbs tik ieinteresēts Royal Scientific Society locekļiem, ka 1844. gadā viņš saņēma medaļu par viņa ieguldījumu matemātiskās analīzes izstrādē . Vairāki citi publicētie darbi, kuros aprakstīti matemātiskās loģikas elementi, ļāva jaunajam matemātiķim ieņemt profesora amatu Korkas apgabala koledžā. Atcerieties, ka ļoti Boole izglītības nebija.

Ideja

Principā Boolean algebra ir ļoti vienkārša. Pastāv apgalvojumi (loģiskās izteiksmes), kuras matemātikas ziņā var definēt tikai ar diviem vārdiem: "patiesību" vai "melot". Piemēram, pavasarī koki zied - patiesību, vasarā tā sniega - melo. Viss šīs matemātikas šarms ir tāds, ka nav stingras nepieciešamības izmantot tikai ciparus. Jebkuri priekšlikumi ar nepārprotamu nozīmi ir ideāli piemēroti ierosinājumu algebrai.

Tādējādi loģisko algebru var izmantot burtiski visur: plānošanas un rakstīšanas instrukcijas, analizējot konfliktējošu informāciju par notikumiem un noteiktu darbību secību. Vissvarīgākais ir saprast, ka tas nav svarīgi, kā mēs nosakām paziņojuma patiesumu vai nepatiesību. No šiem "kā" un "kāpēc" vajadzētu izņemt. Vienīgais, kas ir svarīgi, ir faktu paziņojums: patiesi-false.

Protams, loģikas algebras funkcijas ir svarīgas plānošanai, kuras ir rakstītas ar atbilstošām zīmēm un simboliem. Un iemācīties tos nozīmē apgūt jaunu svešvalodu. Nekas nav neiespējami.

Pamatjēdzieni un definīcijas

Neiedziļinoties dziļumā, mēs sapratīsim terminoloģiju. Tātad Boolean algebra uzņemas klātbūtni:

• Paziņojumi;
• Loģiskās operācijas;
• Funkcijas un likumi.

Paziņojumi ir jebkura pozitīva izteiksme, ko nevar interpretēt divkāršā vērtībā. Tās ir rakstītas numuru formā (5> 3) vai formulētas parastajos vārdos (zilonis ir lielākais zīdītājs). Tajā pašā laikā frāze "žirafam nav kakla" ir arī tiesības eksistēt, tikai Boolean algebra to definēs kā "melu".

Visiem apgalvojumiem jābūt nepārprotamiem, taču tie var būt elementāri un saliktie. Pēdējie izmanto loģiskos savienojumus. Tas ir, piedāvājuma algebrā, savienojuma izteicieni tiek veidoti, pievienojot elementārus elementus, izmantojot loģiskās operācijas.

Būla algebras operācijas

Mēs jau atceramies, ka operācijas algebrā ar teikumiem ir loģiski. Tieši tāpat kā skaitļu algebrā skaitļu pievienošanai, atņemšanai vai salīdzināšanai tiek izmantotas aritmētiskās darbības, matemātiskās loģikas elementi ļauj veidot sarežģītus paziņojumus, dot negatīvu vai aprēķināt galīgo rezultātu.

Loģiskās operācijas formalizēšanai un vienkāršībai tiek ierakstītas formās, kas mums ierasties aritmētikā. Būla algebras īpašības ļauj rakstīt vienādojumus un aprēķināt nezināmos. Loģiskās operācijas parasti tiek rakstītas, izmantojot patiesību tabulu. Tās kolonnās ir definēti aprēķinu elementi un operācija, kas uz tiem tiek veikta, un rindās parādīts aprēķinu rezultāts.

Būtiskākās loģiskās darbības

Visbiežāk sastopamās operācijas Būla algebrā ir negācija (NĒ) un loģiski - AND un OR. Tātad jūs varat aprakstīt gandrīz visas darbības spriedumu algebrā. Mēs rūpīgi izskatīsim katru no trim darbībām.

Negatīvs (nav) attiecas tikai uz vienu elementu (operands). Tādēļ negācija tiek saukta par vienotu. Lai uzrakstītu jēdzienu "nē", izmantojiet šādus simbolus: ¬A, A¯¯¯ vai! A. Tabulā tas izskatās šādi:

Par negation funkciju, šāds apgalvojums ir tipisks: ja A ir taisnība, tad A ir false. Piemēram, Mēness rotē ap Zemi - patiesību; Zeme griežas ap mēness - meli.

Loģiskais reizinājums un papildinājums

Loģisks AND tiek saukts par savienojuma darbību. Ko tas nozīmē? Pirmkārt, to var piemērot diviem operandiem, ti, es esmu bināra operācija. Otrkārt, tikai abu operandu (un A un B) patiesības gadījumā pati izteiciens ir patiess. Parverbē "Pacietība un darbs būs pārdomāts" tiek pieņemts, ka tikai divi faktori palīdzēs cilvēkiem tikt galā ar grūtībām.

Reģistrēšanai tiek izmantoti simboli: A∧B, A⋅B vai A && B.

Saikne ir analoģiska reizināšanai aritmētikā. Reizēm viņi saka, ka tas ir loģisks reizinājums. Ja mēs tabletes elementus reizina ar rindām, mēs iegūstam rezultātu, kas līdzinās loģiskajai domāšanai.

Disjunction sauc par loģisko VAI darbību. Tas ņem patiesības vērtību, ja vismaz viens no apgalvojumiem ir patiess (vai A vai B). Tas ir rakstīts šādi: A∨B, A + B vai A || B. Patiesības tabulas šīm darbībām ir šādas:

Disjunkcija ir kā aritmētiskais papildinājums. Loģiskā papildinājuma darbībai ir tikai viens ierobežojums: 1 + 1 = 1. Bet mēs atceramies, ka digitālajā formātā matemātiskā loģika ir ierobežota ar 0 un 1 (kur 1 ir taisnība, 0 ir false). Piemēram, paziņojumā "muzejā var redzēt šedevru vai satikt interesantu sarunu biedru" nozīmē, ka jūs varat redzēt mākslas darbus, un jūs varat iepazīties ar interesantu cilvēku. Tajā pašā laikā nav izslēgta iespēja vienlaicīgi pabeigt abus pasākumus.

Funkcijas un likumi

Tātad, mēs jau zinām, kādas ir loģiskās operācijas Boolean algebra. Funkcijas apraksta visas matemātiskās loģikas elementu īpašības un ļauj vienkāršot uzdevumu sarežģītus savienojumus. Saprotamākais un vienkāršākais ir atteikšanās no atvasināto operāciju īpašums. Atvasinātie finanšu instrumenti ir ekskluzīvi, netieši un līdzvērtīgi. Tā kā mēs esam tikai iepazinušies ar pamatdarbībām, mēs ņemsim vērā tikai to īpašības.

Asociācijas līdzeklis nozīmē, ka tādos paziņojumos kā "un A, un B un B" operandu uzskaitījums nav nozīmes. Formula ir šāda:

(A∧B) ∧ B = A∧ (B∧В) = A∧B∧В,

(A ∨ B) ∨ B = A∨ (B∨В) = A∨В∨В.

Kā redzam, tas ir īpatnējs ne tikai savienojumiem, bet arī disjunkcijām.

Commutativity apgalvo, ka savienojuma vai disjunkcijas rezultāts nav atkarīgs no tā, kurš elements tika ņemts vērā sākumā:

A∧б = Б∧A; A∨B = B∨A.

Izplatīšana ļauj atvērt slēdzenes sarežģītās loģiskās izteiksmēs. Noteikumi ir līdzīgi iekavu izpaušanai, reizinot un pievienojot algebrai:

A∧ (B∨В) = A∧Б∨A∧В; A ∨ B∧B = (A ∨ B) ∧ (A ∨ B).

Vienības īpašības un nulle, kas var būt viens no operandiem, ir analogas arī algebriskā reizināšanai ar nulli vai vienu un papildus vienam:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotence mums norāda, ka, ja operācijas rezultāts izrādās līdzīgs attiecībā uz diviem vienādiem operandiem, tad jūs varat "izmetiet" papildu operas, kas sarežģī argumentācijas gaitu. Gan savienojums, gan disjunction ir idempotent operācijas.

БББ = Б; БББ = Б.

Absorbcija arī ļauj vienkāršot vienādojumus. Absorbcija norāda, ka tad, ja operācijai ar vienu un to pašu elementu tiek lietota izteiksme ar vienu operandu, rezultāts ir operands no absorbcijas operācijas.

A∧B∨B = B; (A ∨ B) ∧B = B.

Operāciju secība

Operāciju virkne nav maznozīmīga. Faktiski, tāpat kā algebrā, ir funkciju prioritāte, kas izmanto Būla algebru. Formulas var vienkāršot tikai tad, ja tiek ievērota darbību nozīme. No vissvarīgākā līdz nepilngadīgam vērtējumam tiek iegūta šāda secība:

1. Atteikšanās.

2. Saikne.

3. Sadalījums, izņemot OR.

4. Ietekme, līdzvērtība.

Kā redzam, vienīgi noliegumam un savienojumiem nav vienādu prioritāšu. Un disjunkcijas un ekskluzīvās OR prioritāte ir vienāda, kā arī saistību un līdzvērtības prioritātes.

Ietekmes un līdzvērtības funkcijas

Kā jau minējām, papildus pamata loģiskajām operācijām matemātiskā loģika un algoritmu teorija izmanto atvasinājumus. Visbiežāk lietotā implikācija un līdzvērtība.

Ietekme vai loģiska ievērošana ir paziņojums, kurā viena darbība ir nosacījums, bet otrs ir tās izpildes sekas. Citiem vārdiem sakot, šis teikums ar ieganstu "ja ... tad." "Tev patīk braukt, mīlēt un sauļot." Tas ir, lai slidot, ir jāvelk ragavas uz slaidu. Ja nav vēlmes pamest kalnu, tad jums nav jāvelk ragavas. Tas ir rakstīts šādi: A → B vai A⇒B.

Līdzvērtība nozīmē, ka izrietošā darbība rodas tikai tad, ja abi operandi ir patiesi. Piemēram, nakts tiek aizstāts ar dienu (un tikai tad), kad saule paceļas no horizonta. Matemātiskās loģikas valodā šis paziņojums ir šāds: A≡B, Aβ, A == B.

Citi Boolean algebra likumi

Izstrādā sprieduma algebra, un daudzi interesenti zinātnieki ir formulējuši jaunus likumus. Visslavenākie ir Skotijas matemātiķa O. de Morgana postulāti. Viņš pamanīja un definēja šādas īpašības kā tuvu negāciju, papildinājumu un dubulto negāciju.

Tuvs noraidījums liek domāt, ka pirms vienības nav neviena negācija: nav (A vai B) = nav A vai NAV B.

Ja operandam tiek liegta, neatkarīgi no tā vērtības, viņi saka par papildinājumu :

Б¬¬Б = 0; ¬ ¼ ¼ 1.

Un, visbeidzot, dubultā negācija kompensē pati. Ti. Pirms operands jebkura negācija pazūd vai paliek tikai viena.

Kā atrisināt testus

Matemātiskā loģika nozīmē doto vienādojumu vienkāršošanu. Tāpat kā algebrā, vispirms ir nepieciešams padarīt nosacījumu pēc iespējas vienkāršāku (atbrīvoties no sarežģītiem ievadiem un operācijām ar tām), un tad turpināt, lai atrastu pareizo atbildi.

Ko var izdarīt vienkāršošanai? Konvertējiet visas atvasinātās darbības uz vienkāršām. Tad atveriet visas iekavas (vai otrādi, izgrieziet iekavas, lai saīsinātu šo elementu). Nākamais solis ir praktiski pielietot Būla algebras īpašības (absorbcija, nulles un vienību īpašības utt.).

Visbeidzot, vienādojumam jāsastāv no nezināmu minimālo skaita, ko apvieno vienkāršas darbības. Vislabāk ir meklēt risinājumu, ja jūs sasniedzat lielu skaitu tuvu negatīvu. Tad atbilde parādīsies kā pati par sevi.